Problemas resueltos de estudio conjunto de la media y la varianza

1)    Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican por alturas según la tabla siguiente:

Altura	[1,70 , 1,75)	[1,75 , 1,80)	[1,80 , 1,85)	[1,85 , 1,90)	[1,90 , 1,95)	[1,95 , 2,00)
Nº de jugadores	1	3	4	8	5	2

¿Cuántos valores hay en los intervalos () , () y ()? Estudia la concentración de los datos.

2)   En un grupo de alumnos, se ha efectuado un test de habilidad mental obteniéndose:

Puntuaciones	[12, 23)	[23, 34)	[34, 45)	[45, 56)	[56, 67)	[67, 78)
Nº de alumnos	12	27	24	36	15	12

Se pide:
a)    Porcentaje de alumnos con una puntuación que pertenezca al intervalo    ().
b)    Calcular la mediana.

3)   Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde h_i, F_i y f_i, representan, respectivamente, la frecuencia relativa, absoluta acumulada y absoluta.
Calcular además: media, moda y mediana de la distribución.

1	4		0,08
2	4
3		16	0,16
4	7		0,14
5	5	28
6		38
7	7	45
8

4)   Al estudiar la distribución de la edad en una población se obtuvieron los resultados siguientes:

Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo (20, 40].
a)   ¿Cuál sería el valor de ese dato si la edad media fuera de 35 años?
b)   ¿Cuál sería el valor de ese dato si la edad mediana fuera de 35 años?
c)   ¿Cuál sería la desviación típica si el dato fuera 16?

5)    Considérense los siguientes datos: 9, 11, 7, 12, 11. Se pide:

a)    Calcular su media, varianza y desviación típica.
b)    Considérese también el conjunto de datos obtenido sumando 20 a cada uno de los datos iniciales. Razonar, cuál de los dos conjuntos está más disperso respecto de su media.

6)    Las edades, en años, de los asistentes a cierto curso fueron :
                  37, 35, 38, 36, 37, 40, 38, 25, 38
a)    ¿Cuál es la edad media de los asistentes?
b)    La varianza del conjunto de datos anterior es 19. Las mismas personas asistirán a otro curso dentro de 2 años. Obtener razonadamente la media y la varianza del nuevo conjunto de datos a partir de las correspondientes al conjunto de datos inicial.

7)    Considérense los siguientes datos: 9, 11, 7, 12, 11. Se pide:

a)    Calcular su media, varianza y desviación típica.
b)    Considérese también el conjunto de datos obtenido multiplicando por 5 a cada uno de los datos iniciales. Razonar, cuál de los dos conjuntos está más disperso respecto de su media.

8)    En una clase hay  20  alumnos y  15  alumnas. El peso medio de los  20 alumnos es de  64,7  kg  y el de las  15  alumnas es de  57,3  kg. Supongamos que las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente,  4,2  kg y  5,7 kg.  El peso de Luis es de  71 kg  y el de Laura es de  62 kg.  ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?

9)    Se ha realizado una prueba, en una determinada asignatura, a dos grupos de alumnos, el grupo A y el B. De la información obtenida se han hecho los siguientes cálculos :

Los alumnos 1 y 2 han obtenido los siguientes resultados :

¿Cuál de los alumnos puede considerarse mejor?

10)    Un profesor ha realizado dos test a un grupo de  40  alumnos, obteniendo los siguientes resultados :

-   Para el primer test, la media es  6  y la desviación típica  1,5.
-   Para el segundo test la media es  4  y la desviación típica  0,5.

Un alumno obtiene un  6  en el primero y un  5  en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los test obtuvo mejor puntuación?

11)    Una persona  A  mide  1,75  metros y reside en una ciudad donde la estatura media es de  1,60  metros y su desviación típica es de  20 centímetros. Otra persona  B  mide  1,80  metros y vive en una ciudad donde la estatura media es de  1,70  metros y la desviación típica es de  15 centímetros.
¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

12)    En un grupo de sociología se han obtenido las siguientes puntuaciones en un test de habilidad mental :
        50, 23, 45, 36, 56, 34, 56, 67, 45, 34, 23, 45, 23, 67, 54, 21,
        34, 43, 12, 78, 36, 49, 53, 27, 66, 31, 45, 22, 33, 44, 48, 53,
        57, 77, 31, 23, 47, 52, 33, 37, 64, 21.
Comprobar si en el intervalo  se encuentra aproximadamente el  68 %  de los datos.

1)   Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican por alturas según la tabla siguiente:

Altura	[1,70 , 1,75)	[1,75 , 1,80)	[1,80 , 1,85)	[1,85 , 1,90)	[1,90 , 1,95)	[1,95 , 2,00)
Nº de jugadores	1	3	4	8	5	2

¿Cuántos valores hay en los intervalos () , () y ()? Estudia la concentración de los datos.

Altura
[1,70 , 1,75)	1,725	1	2,976	1,725	2,976
[1,75 , 1,80)	1,775	3	3,151	5,325	9,453
[1,80 , 1,85)	1,825	4	3,331	7,3	13,324
[1,85 , 1,90)	1,875	8	3,516	15,0	28,128
[1,90 , 1,95)	1,925	5	3,706	9,625	18,53
[1,95 , 2,00)	1,975	2	3,901	3,95	7,802
Sumatorio	11,1	23	20,578	42,925	80,213

2)    En un grupo de alumnos, se ha efectuado un test de habilidad mental obteniéndose:

Puntuaciones	[12, 23)	[23, 34)	[34, 45)	[45, 56)	[56, 67)	[67, 78)
Nº de alumnos	12	27	24	36	15	12

Se pide:
a)    Porcentaje de alumnos con una puntuación que pertenezca al intervalo    ().
b)    Calcular la mediana.

Intervalos
[12, 23)	17,5	12	12	210	3675
[23, 34)	28,5	27	39	769,5	21930,75
[34, 45)	39,5	24	63	948	37446
[45, 56)	50,5	36	99	1818	91809
[56, 67)	61,5	15	114	922,5	56733,75
[67, 78)	72,5	12	126	870	63075
Sumatorio:		126		5538	274669,5

3)   Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde h_i, F_i y f_i, representan, respectivamente, la frecuencia relativa, absoluta acumulada y absoluta.
Calcular además: media, moda y mediana de la distribución.

1	4		0,08
2	4
3		16	0,16
4	7		0,14
5	5	28
6		38
7	7	45
8

1	4	4	0,08
2	4	8	0,08
3	8	16	0,16
4	7	23	0,14
5	5	28	0,1
6	10	38	0,2
7	7	45	0,14
8	5	50	0,1

4)   Al estudiar la distribución de la edad en una población se obtuvieron los resultados siguientes:

Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo (20, 40].
a)    ¿Cuál sería el valor de ese dato si la edad media fuera de 35 años?
b)    ¿Cuál sería el valor de ese dato si la edad mediana fuera de 35 años?
c)    ¿Cuál sería la desviación típica si el dato fuera 16?

	Marcas de clase
(0 , 20]	10	15	150
(20, 40]	30	a	30 · a
(40, 60]	50	15	750
(60, 80]	70	16	1120
Sumatorio		46+a	2020+30·a

10	15	100	150	1 000
30	16	900	480	27 000
50	15	2 500	750	125 000
70	16	4 900	1120	343 000
	62		2 500	496 000

5)    Considérense los siguientes datos: 9, 11, 7, 12, 11. Se pide:
a)    Calcular su media, varianza y desviación típica.
b)    Considérese también el conjunto de datos obtenido sumando 20 a cada uno de los datos iniciales. Razonar, cuál de los dos conjuntos está más disperso respecto de su media.
    

6)    Las edades, en años, de los asistentes a cierto curso fueron :
                  37, 35, 38, 36, 37, 40, 38, 25, 38
a)    ¿Cuál es la edad media de los asistentes?
b)    La varianza del conjunto de datos anterior es 19. Las mismas personas asistirán a otro curso dentro de 2 años. Obtener razonadamente la media y la varianza del nuevo conjunto de datos a partir de las correspondientes al conjunto de datos inicial.

7)    Considérense los siguientes datos: 9, 11, 7, 12, 11. Se pide:

a)    Calcular su media, varianza y desviación típica.
b)    Considérese también el conjunto de datos obtenido multiplicando por 5 a cada uno de los datos iniciales. Razonar, cuál de los dos conjuntos está más disperso respecto de su media.

8)    En una clase hay  20  alumnos y  15  alumnas. El peso medio de los  20 alumnos es de  64,7  kg  y el de las  15  alumnas es de  57,3  kg. Supongamos que las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente,  4,2  kg y  5,7 kg.  El peso de Luis es de  71 kg  y el de Laura es de  62 kg.  ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?

9)    Se ha realizado una prueba, en una determinada asignatura, a dos grupos de alumnos, el grupo A y el B. De la información obtenida se han hecho los siguientes cálculos :

Los alumnos 1 y 2 han obtenido los siguientes resultados :

¿Cuál de los alumnos puede considerarse mejor?

10)    Un profesor ha realizado dos test a un grupo de  40  alumnos, obteniendo los siguientes resultados :

-   Para el primer test, la media es  6  y la desviación típica  1,5.
-   Para el segundo test la media es  4  y la desviación típica  0,5.

Un alumno obtiene un  6  en el primero y un  5  en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los test obtuvo mejor puntuación?

Tenemos que hallar los valores tipificados de cada una de las notas en sus respectivos test.

11)    Una persona  A  mide  1,75  metros y reside en una ciudad donde la estatura media es de  1,60  metros y su desviación típica es de  20 centímetros. Otra persona  B  mide  1,80  metros y vive en una ciudad donde la estatura media es de  1,70  metros y la desviación típica es de  15 centímetros.
¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

Vamos a calcular la variable tipificada de cada una de las personas respecto a sus conciudadanos.

12)    En un grupo de sociología se han obtenido las siguientes puntuaciones en un test de habilidad mental :
        50, 23, 45, 36, 56, 34, 56, 67, 45, 34, 23, 45, 23, 67, 54, 21,
        34, 43, 12, 78, 36, 49, 53, 27, 66, 31, 45, 22, 33, 44, 48, 53,
        57, 77, 31, 23, 47, 52, 33, 37, 64, 21.
Comprobar si en el intervalo  se encuentra aproximadamente el  68 %  de los datos.

Los valores extremos son 12 y 78, así que agruparemos los valores como figura en la tabla de distribución siguiente :