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Problemas resueltos de medidas de centralización.

1)   Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de los siguientes datos :
a)    7, 7, 5, 3, 9, 8, 10
b)    8, 2, 5, 4, 6, 6, 6, 7
c)    2, 4, 3, 2, 3, 5, 8, 7
d)   4, 4, 4, 6, 7, 6, 6, 5, 5, 5, 8, 7, 9

2)    Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de los siguientes datos :

a)

xi 10 11 12 13 14
fi 18 24 17 21 20

b)

li [ 0, 3 ) [ 3, 6 ) [ 6, 9 ) [ 9, 12 ) [ 12, 15 ) [ 15, 18 ) [ 18, 21 ) [ 21, 24 )
fi 19 24 29 25 28 27 26 22

3)    Las urgencias diarias atendidas durante un mes en un centro de salud fueron :
                4 3 2 1 5 1 5 3 3 6 6 4 2 2 3 2 4 6 3 2 4 3 5 1 2 1 5 3 2 1
a)    Haz una tabla de frecuencias y representa los datos.
b)    ¿Cuál es el número de urgencias medias atendidas durante el mes?

4)   Considérese la tabla de frecuencias agrupadas:

Intervalo [3,5 , 6,5) [6,5 , 9,5) [9,5 , 12,5) [12,5 , 15,5) [15,5 , 18,5)
Frecuencias 3 5 9 6 2

Hallar la moda de forma gráfica y de forma analítica.

5)   Las dianas logradas en un campeonato por 25 tiradores fueron :
8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 9, 10, 8, 10.
a) Resumir los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas y dibujar el correspondiente diagrama de barras.
b) Calcular la media y la mediana del conjunto de datos. Comentar su significado estadístico en términos del enunciado.

6)    Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabala sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez :

Meses 9 10 11 12 13 14 15
Niños 1 4 9 16 11 8 1

Dibujar el polígono de frecuencias. Calcular la mediana y la moda.

7)   Un médico atendió en 20 días las siguientes urgencias: 1, 3, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 6, 3, 1, 4, 0.

a) Resumir los datos en una tabla que muestre frecuencias absolutas y porcentajes, y dibujar el correspondiente diagrama de barras.
b) Calcular la media y la mediana del conjunto de datos. ¿Es simétrica la distribución anterior?

8)    Las notas de matemáticas de los alumnos de una clase son las siguientes :
            3, 3, 7, 6, 8, 7, 6, 7, 5, 5, 4, 5, 4, 6, 4,
            5, 7, 8, 5, 4, 5, 6, 7, 9, 6, 10, 3, 2, 6, 6

Obtén la tabla de frecuencias, la media aritmética y la media ponderada.

9)    Los gastos anuales de cierta familia en los apartados vivienda, alimentación y transportes están en las proporciones 9 / 6 / 5.

a)    Dibujar un gráfico de sectores que refleje la importancia de cada apartado en el total de gastos de los tres conceptos anteriores.
b)    En el último año, los precios de los apartados anteriores subieron un 20 %, 5 % y 6 % respectivamente. ¿Cuál ha sido para esta familia el porcentaje de aumento anual del total de gastos en los tres apartados anteriores?

10)    Un instituto tiene tres grupos de bachiller. La nota media de los alumnos del grupo  A  es de  5,7  puntos. La de los alumnos del grupo  B  es de  5,6  siendo de  5,5  para los del grupo  C.  En el grupo  A  hay  30  alumnos y se sabe que en el grupo  C  hay  5  alumnos más que en el grupo  B.  Si la nota media de todos los alumnos de bachiller del instituto es de  5,6 puntos, ¿cuántos alumnos de bachiller hay en el instituto?

11)    Un médico atendió en 200 días las siguientes urgencias:
1, 3, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 6, 3, 1, 4, 0

a)   Resumir los datos en una tabla que muestre frecuencias absolutas y porcentajes, y dibujar el correspondiente diagrama de barras.
b)   Calcular la media, la mediana y la moda del conjunto de datos. ¿Es simétrica la distribución anterior?

1)   Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de los siguientes datos :
a)    7, 7, 5, 3, 9, 8, 10
b)    8, 2, 5, 4, 6, 6, 6, 7
c)    2, 4, 3, 2, 3, 5, 8, 7
d)   4, 4, 4, 6, 7, 6, 6, 5, 5, 5, 8, 7, 9

2)    Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de los siguientes datos :
a)

xi 10 11 12 13 14
fi 18 24 17 21 20

b)

li [ 0, 3 ) [ 3, 6 ) [ 6, 9 ) [ 9, 12 ) [ 12, 15 ) [ 15, 18 ) [ 18, 21 ) [ 21, 24 )
fi 19 24 29 25 28 27 26 22

a)

xi fi Fi fi · xi xi2 fi · x i2
10 18 18 180 100 1800
11 24 42 264 121 2904
12 17 59 204 144 2448
13 21 80 273 169 3549
14 20 100 280 196 3920
Sumatorio   1201 14621



b)

li xi fi Fi fi · xi xi2 fi · xi2
[ 0, 3 ) 1,5 19 19 28,5 2,25 42,75
[ 3, 6 ) 4,5 24 43 108 20,25 486
[ 6, 9 ) 7,5 29 72 217,5 56,25 1631,25
[ 9, 12 ) 10,5 25 97 262,5 110,25 2756,25
[ 12, 15 ) 13,5 28 125 378 182,25 5103
[ 15, 18 ) 16,5 27 152 445,5 272,25 7350,25
[ 18, 21 ) 19,5 26 178 507 380,25 9886,5
[ 21, 14 ) 22,5 22 200 495 506,25 11137,5
Sumatorios 200   2442   38394

3)    Las urgencias diarias atendidas durante un mes en un centro de salud fueron :
                4 3 2 1 5 1 5 3 3 6 6 4 2 2 3 2 4 6 3 2 4 3 5 1 2 1 5 3 2 1
a)    Haz una tabla de frecuencias y representa los datos.
b)    ¿Cuál es el número de urgencias medias atendidas durante el mes?

a)

xi fi hi pi Fi Hi Pi fi · xi
1 5 0,1667 16,67 5 0,1667 16,67 5
2 8 0,2667 26,67 13 0,4334 43,34 16
3 6 0,2 20 19 0,6334 63,34 18
4 4 0,1333 13,33 23 0,7667 76,67 16
5 4 0,1333 13,33 27 0,9 90 20
6 3 0,1 10 30 1 100 18
Sumatorio 93

diagrama de barras


b)

4)   Considérese la tabla de frecuencias agrupadas:

Intervalo [3,5 , 6,5) [6,5 , 9,5) [9,5 , 12,5) [12,5 , 15,5) [15,5 , 18,5)
3 5 9 6 2

a)  Hallar la moda de forma gráfica y de forma analítica.
b)  Hallar la mediana de forma gráfica y de forma analítica.

a) Para calcular la moda de forma gráfica se unen los extremos de la clase modal con las clases contiguas, y la abcisa del punto de corte es la moda.

moda de forma gráfica


b)

Intervalo
[3,5 , 6,5) 3 3
[6,5 , 9,5) 5 8
[9,5 , 12,5) 9 17
[12,5 , 15,5) 6 23
[15,5 , 18,5) 2 25
Sumatorio: 25  


Dibujamos el histograma de frecuencias absolutas acumuladas (Fi) y para hallar la mediana utilizamos la semejanza de triángulos.
Primero: se calcula N/2 = 12,5. Como no coincide con ninguna frecuencia absoluta acumulada, la mediana NO es el extremo superior del intervalo correspondiente a N/2 .
Por tanto dibujamos el histograma utilizando las frecuencias abosolutas y resolvemos por semejanza de triángulos.


mediana de forma gráfica

5)   Las dianas logradas en un campeonato por 25 tiradores fueron :
8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 9, 10, 8, 10.
a) Resumir los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas y dibujar el correspondiente diagrama de barras.
b) Calcular la media y la mediana del conjunto de datos. Comentar su significado estadístico en términos del enunciado.

a) 

diagrama de barras    

8 2 0,08
9 6 0,24
10 9 0,36
11 4 0,16
12 3 0,12
13 1 0,04
Sumatorio: 25 1

6)    Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabala sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez :

Meses 9 10 11 12 13 14 15
Niños 1 4 9 16 11 8 1

Dibujar el polígono de frecuencias. Calcular la mediana y la moda.

Dibujamos en primer lugar el polígono de frecuencias. Este se obtiene mediante segmentos, uniendo los puntos siguientes :   ( 9, 1 ),   ( 10, 4 ),   ( 11, 9 ),   ( 12, 16 ),   ( 13, 11 ),   ( 14, 8 )   y   ( 15, 1 ).


polígono de frecuencias


xi ni Ni xi2 ni·xi ni·xi2
9 1 1 81 9 81
10 4 5 100 40 400
11 9 14 121 99 1089
12 16 30 144 192 2304
13 11 41 169 143 1859
14 8 49 196 112 1568
15 1 50 225 15 225
Sumatorio : 610 7526

7)   Un médico atendió en 20 días las siguientes urgencias: 1, 3, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 6, 3, 1, 4, 0.

a) Resumir los datos en una tabla que muestre frecuencias absolutas y porcentajes, y dibujar el correspondiente diagrama de barras.
b) Calcular la media y la mediana del conjunto de datos. ¿Es simétrica la distribución anterior?

a)

diagrama de barras

0 6 30 0
1 7 35 7
2 3 15 6
3 2 10 6
4 1 5 4
5 0 0 0
6 1 5 6
Sumatorio: 20   29

8)    Las notas de matemáticas de los alumnos de una clase son las siguientes :
            3, 3, 7, 6, 8, 7, 6, 7, 5, 5, 4, 5, 4, 6, 4,
            5, 7, 8, 5, 4, 5, 6, 7, 9, 6, 10, 3, 2, 6, 6

Obtén la tabla de frecuencias, la media aritmética y la media ponderada.

xi fi hi pi Fi Hi Pi
1 0 0 0 0 0 0
2 1 0,033 3,3 1 0,033 3,3
3 3 0,1 10 4 0,133 13,3
4 4 0,133 13,3 8 0,266 26,6
5 6 0,2 20 14 0,466 46,6
6 7 0,234 23,4 21 0,7 70
7 5 0,167 16,7 26 0,867 86,7
8 2 0,067 6,7 28 0,934 93,4
9 1 0,033 3,3 29 0,967 96,7
10 1 0,033 3,3 30 1 100
Sumatorio N = 30 1 100  

9)    Los gastos anuales de cierta familia en los apartados vivienda, alimentación y transportes están en las proporciones 9 / 6 / 5.

a)    Dibujar un gráfico de sectores que refleje la importancia de cada apartado en el total de gastos de los tres conceptos anteriores.
b)    En el último año, los precios de los apartados anteriores subieron un 20 %, 5 % y 6 % respectivamente. ¿Cuál ha sido para esta familia el porcentaje de aumento anual del total de gastos en los tres apartados anteriores?


a)


diagrama de sectores


b)

10)    Un instituto tiene tres grupos de bachiller. La nota media de los alumnos del grupo  A  es de  5,7  puntos. La de los alumnos del grupo  B  es de  5,6  siendo de  5,5  para los del grupo  C.  En el grupo  A  hay  30  alumnos y se sabe que en el grupo  C  hay  5  alumnos más que en el grupo  B.  Si la nota media de todos los alumnos de bachiller del instituto es de  5,6 puntos, ¿cuántos alumnos de bachiller hay en el instituto?

Llamamos  x   al número de alumnos del grupo  B,  siendo entonces  x + 5  el número de alumnos del grupo  C.  Considerando la fórmula de la media aritmética ponderada tenemos :

11)    Un médico atendió en 200 días las siguientes urgencias:
1, 3, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 6, 3, 1, 4, 0

a)   Resumir los datos en una tabla que muestre frecuencias absolutas y porcentajes, y dibujar el correspondiente diagrama de barras.
b)   Calcular la media, la mediana y la moda del conjunto de datos. ¿Es simétrica la distribución anterior?

      a)

0 6 0,30 30
1 7 0,35 35
2 3 0,15 15
3 2 0,10 10
4 1 0,05 5
6 1 0,05 5
Sumatorio: 20 1 100

diagrama de barras

      b)