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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas



Multiplicando la primera ecuación por   - 4   y sumando la segunda ecuación obtenemos:


sistema_reduccion



Por otra parte, multiplicando la primera ecuación por   - 8   y sumando la tercera ecuación obtenemos:


sistema_reduccion



De esta forma, aplicando dos veces el método de reducción, obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.




A continuación resolvemos el sistema utilizando el método de igualación:


Despejando la incógnita   z   en ambas ecuaciones obtenemos un nuevo sistema:




Igualando ambas ecuaciones se obtiene:




Quitamos denominadores multiplicando en cruz:


60(108 + 8y) = 31(174 + 33y)


6480 + 480y = 5394 + 1023y


1086 = 543y


y = 2



Sustituyendo el valor de   y   en la primera ecuación del anterior sistema obtenemos el valor de   z.



z = 4



Por último, para obtener el valor de   x   sustituimos las soluciones obtenidas para   y   y para   z.


x + 4y - 8z = -8


x = - 8 - 4y + 8z = - 8 - 8 + 32


x = 16






De la primera ecuación del sistema obtenemos que:




Sustituyendo los valores de   y   y de   z   en la segunda ecuación:





Sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación:




Simplificamos el sistema:



Vamos a aplicar el método de reducción en las dos primeras ecuaciones, le restamos a la primera la segunda ecuación:



Si y = 8 , por la tercera ecuación del sistema tenemos:


            -9y + 9z = -27    ⇒    -9·8 + 9z = -27    ⇒    9z = -27 + 72    ⇒    9z = 45    ⇒    z = 5


Si y = 8 , z = 5 , despejando la variable x en la segunda ecuación tenemos:


            x - y + z = 0    ⇒     x = y - z = 8 - 5 = 3


La solución del sistema es:      x = 3 , y = 8 , z = 5

Simplificando el sistema obtenemos el siguiente:



Despejamos las variables x e y en la segunda y tercera ecuación respectivamente, y después sustituimos en la primera:


            x - 2z = 10    ⇔    x = 10 + 2z


            y - 2z = -12    ⇔    y = 2z - 12


            x + y + z = 73     ⇒     (10 + 2z) + (2z - 12) + z = 73     ⇒     5z - 2 = 73     ⇒     5z = 75    ⇒    z = 15


Si  z = 15    ⇒    x = 10 + 2z = 10 + 2·15 = 40


Si  z = 15    ⇒    y = 2z - 12 = 2·15 - 12 = 18


La solución del sistema es: x = 40 , y = 18 , z = 15

Resolvemos el sistema por el método de reducción:


            tetraedro_sol1


            tetraedro_sol2


Si  z = 31     ⇒     y - z = - 13     ⇒     y = - 13 + z = - 13 + 31 = 18


Si  y = 18     ⇒     x + y = 27     ⇒     x = 27 - y = 27 - 18 = 9


La solución del sistema es:     x = 9 , y = 18 , z = 31

En estas ecuaciones las incógnitas se representan con las letras  x ,  y ,  z.


Mientras que las letras  a ,  b ,  c ,  m ,  n  se utilizan como constantes.





Despejamos la incógnita   y   de la primera ecuación:


y = a - x



Despejamos la incógnita   z   de la segunda ecuación:


z = b - x



Sustituimos el valor de   y   y de   z   en la tercera ecuación:


a - x + b - x = c


a + b - c = 2x




Sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación tenemos que:





Sustituyendo el valor de   y   en la tercera ecuación tenemos que: