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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

1 )     { x + 4y - 8z = - 8 4x + 8y - z = 76 8x - y - 4z = 110



Multiplicando la primera ecuación por   - 4   y sumando la segunda ecuación obtenemos:


sistema_reduccion



Por otra parte, multiplicando la primera ecuación por   - 8   y sumando la tercera ecuación obtenemos:


sistema_reduccion



De esta forma, aplicando dos veces el método de reducción, obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.


{ - 8y + 31z = 108 - 33y + 60z = 174



A continuación resolvemos el sistema utilizando el método de igualación:


Despejando la incógnita   z   en ambas ecuaciones obtenemos un nuevo sistema:


{ z =  108 + 8y 31 z =  174 + 33y 60



Igualando ambas ecuaciones se obtiene:


108 + 8y 31  =  174 + 33y 60



Quitamos denominadores multiplicando en cruz:


60(108 + 8y) = 31(174 + 33y)


6480 + 480y = 5394 + 1023y


1086 = 543y


y = 2



Sustituyendo el valor de   y   en la primera ecuación del anterior sistema obtenemos el valor de   z.


z =  108 + 8y 31  =  108 + 16 31  =  124 31


z = 4



Por último, para obtener el valor de   x   sustituimos las soluciones obtenidas para   y   y para   z.


x + 4y - 8z = -8


x = - 8 - 4y + 8z = - 8 - 8 + 32


x = 16




2)    { x 9  =  y 12  =  z 6 2x - 3y - 5z = 4



De la primera ecuación del sistema obtenemos que:


x 9  =  y 12 y =  12 9 x =  4 3 x x 9  =  z 6 z =  6 9 x =  2 3 x



Sustituyendo los valores de   y   y de   z   en la segunda ecuación:


2x - 3( 4 3 x ) - 5( 2 3 x ) = 4 2x - 4x -  10 3 x = 4 6x - 12x - 10x = 12 - 16x = 12


x = -  12 16  = -  3 4



Sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación:


y =  4 3 x =  4 3 ( - 3 4 ) = - 1


z =  2 3 x =  2 3 ( - 3 4 ) = -  1 2


Simplificamos el sistema:


{  x + y + z = 16  x  y + z = 0  9y + 9z =  27


Vamos a aplicar el método de reducción en las dos primeras ecuaciones, le restamos a la primera la segunda ecuación:


{ x + y + z = 16 x y + z = 0 0 2y 0 = 16 y = 8


Si y = 8 , por la tercera ecuación del sistema tenemos:


            -9y + 9z = -27    ⇒    -9·8 + 9z = -27    ⇒    9z = -27 + 72    ⇒    9z = 45    ⇒    z = 5


Si y = 8 , z = 5 , despejando la variable x en la segunda ecuación tenemos:


            x - y + z = 0    ⇒     x = y - z = 8 - 5 = 3


La solución del sistema es:      x = 3 , y = 8 , z = 5

Simplificando el sistema obtenemos el siguiente:


{  x + y + z = 73  x  2z = 10  y  2z = 12


Despejamos las variables x e y en la segunda y tercera ecuación respectivamente, y después sustituimos en la primera:


            x - 2z = 10    ⇔    x = 10 + 2z


            y - 2z = -12    ⇔    y = 2z - 12


            x + y + z = 73     ⇒     (10 + 2z) + (2z - 12) + z = 73     ⇒     5z - 2 = 73     ⇒     5z = 75    ⇒    z = 15


Si  z = 15    ⇒    x = 10 + 2z = 10 + 2·15 = 40


Si  z = 15    ⇒    y = 2z - 12 = 2·15 - 12 = 18


La solución del sistema es: x = 40 , y = 18 , z = 15

Resolvemos el sistema por el método de reducción:


            tetraedro_sol1


            tetraedro_sol2


Si  z = 31     ⇒     y - z = - 13     ⇒     y = - 13 + z = - 13 + 31 = 18


Si  y = 18     ⇒     x + y = 27     ⇒     x = 27 - y = 27 - 18 = 9


La solución del sistema es:     x = 9 , y = 18 , z = 31

En estas ecuaciones las incógnitas se representan con las letras  x ,  y ,  z.


Mientras que las letras  a ,  b ,  c ,  m ,  n  se utilizan como constantes.



1)    { x + y = a x + z = b y + z = c



Despejamos la incógnita   y   de la primera ecuación:


y = a - x



Despejamos la incógnita   z   de la segunda ecuación:


z = b - x



Sustituimos el valor de   y   y de   z   en la tercera ecuación:


a - x + b - x = c


a + b - c = 2x


x =  a + b - c 2



Sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación tenemos que:


a + b - c 2  + y = a a + b - c + 2y = 2a 2y = a - b + c


y =  a - b + c 2



Sustituyendo el valor de   y   en la tercera ecuación tenemos que:


a - b + c 2  + z = c a - b + c + 2z = 2c 2z = c + b - a


z =  c + b - a 2