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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas

Resuelve los siguientes sistemas no lineales con dos incógnitas:















Despejamos la variable x en la primera ecuación:   x + y = 10    ⇔    x = 10 - y


Sustituimos en la segunda ecuación:

x2 + y2 = 68    ⇒    (10 - y)2 + y2 = 68    ⇒    100 - 20y + y2 + y2 = 68    ⇒    2y2 - 20y + 32 = 0


Simpificamos la ecuación dividiendo entre   2 :   y2 - 10y + 16 = 0

         y =  ( 10 ) ±  ( 10 ) 2  - 4116 21  =  10 ±  36 2  =  10 ± 6 2  ={ y = 8 y = 2


Si y = 8    ⇒    x = 10 - y = 10 - 8 = 2

Si y = 2    ⇒    x = 10 - y = 10 - 2 = 8


El sistema tiene dos soluciones:      x1 = 2   ,   y1 = 8    ;    x2 = 8   ,   y2 = 2



Despejamos la incógnita   y   de la primera ecuación y sustituimos su valor en la segunda ecuación:


x = 12 + 3y


(12 + 3y)2 - y2 = 7


144 + 72y + 9y2 - y2 = 7


8y2 + 72y + 137 = 0



A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado:


ecuacion_2grado



Por último sustituimos   y1   e   y2   en la primera ecuación del sistema:


sustitucion



Por lo tanto las soluciones son:


solucion




En primer lugar desarrollamos la igualdad notable de la primera ecuación:

{ x 2  + 2xy + y 2  = 289 x 2  + y 2  = 169



Multiplicamos la segunda ecuación por   - 1  y aplicamos el método de reducción:


reduccion



Despejamos la incógnita   y   y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema:


y =  120 2x  =  60 x x 2  +  ( 60 x ) 2  = 169 x 2  +  3600 x 2  = 169

Multiplicamos cada término de la expresión por   x2 :

x4 + 3600 = 169x2

x4 - 169x2 + 3600 = 0

Para resolver la ecuación bicuadrada realizamos un cambio de variable:

x2 = t

Resolvemos la siguiente ecuación de segundo grado:

t2 - 169t + 3600 = 0



ecuacion_2grado



Deshacemos el cambio de variable para hallar las soluciones para   x :

bicuadrada



Despejando la incógnita   y :

y =  120 2x  =  60 x



Por lo tanto las soluciones del sistema son:


solucion



Resolvemos el sistema mediante el método de sustitución:

      x + y = 7    ⇔    y = 7 - x


       1 x  +  1 y  =  7 12                  1 x  +  1 7  x  =  7 12


       1 x  +  1 7  x  =  7 12       m.c.m.( , 7 - x,12 ) = 12x( 7 - x )    12( 7  x ) + 12x  =  7x( 7  x )      


             84  12x + 12x = 49x   7x 2             7x 2   49x + 84 = 0


Simplificamos la ecuación dividiendo entre  m.c.d.(7,49,84) = 7

      7x2 - 49x + 84 = 0    ⇔    x2 - 7x + 12 = 0


       x =   ( 7 ) ±  ( 7 ) 2  - 4112 21  =  7 ±  1 2  =  7 ± 1 2  ={  x 1  = 4  x 2  = 3


Sustituimos los valores encontrados para calcular el valor de y :

Si  x = 4  , entonces:      y = 7 - x = 7 - 4 = 3

Si  x = 3  , entonces:      y = 7 - x = 7 - 3 = 4


Los números pedidos son 3 y 4.

Despejamos la variable y de la segunda ecuación:

       x y  =  1 3     ⇔     x =  1 3  y     ⇔    3x = y


Sustituimos en la primera ecuación y resolvemos:

      x · y = 1200    ⇒    x · (3x) = 1200    ⇒    3x2 = 1200    ⇒ x2 = 400    ⇒    x = 20


Sustuimos el valor de   x   en la segunda ecuación para hallar el valor de   y  :

Si  x = 20    ⇒    y = 3x = 3 · 20 = 60


El sistema tiene una única solución:   x = 20 , y = 60


Resolvemos el sistema mediante sustitución.


Despejamos la variable y de la segunda ecuación:

      x + y = 5x - 5y    ⇔    6y = 4x    ⇔     y =  2 3 x


Sustituimos en la primera ecuación y resolvemos:

        y = x + y              x  ( 2 3 x ) = x +  2 3 x       


               2 3 x 2  =  5 3 x                2x 2  = 5x         


             2x 2   5x = 0                  x ( 2x  5 ) = 0 


             {  x = 0  2x  5 = 0             x =  5 2



Si  x = 0      ⇒     y =  2 3 x =  2 3 0 = 0


Si   x =  5 2     ⇒     y =  2 3 x =  2 3 5 2  =  5 3


El sistema tiene dos soluciones:   x = 0  e  y = 0  ;  x =  5 2    e   y =  5 3


Simplificamos ambas ecuaciones:

            xy/2 = 96     ⇔     xy = 192


            x2 + y2 = (x - y - 8)2     ⇔     x2 + y2 = x2 + y2 + 64 + 2xy - 16x - 16y     ⇔     0 = 64 + 2xy - 16x - 16y     ⇔     16x + 16y - 2xy = 64


Como  xy = 192  , la segunda ecuación queda:

            16x + 16y - 2·192 = 64     ⇔     16x + 16y - 384 = 64     ⇔     16x + 16y = 448     ⇔     x + y = 28


Resolvemos el sistema mediante sustitución. Despejamos la variable   x   en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

            xy = 192     ⇒     x = 192/y


            triang_sol1


            triang_sol2


            triang_sol3


            Si  y = 16     ⇒     x = 192/y = 12

            Si  y = 12     ⇒     x = 192/y = 16

La soluciones son: x1 = 12 , y1 = 16 ; x2 = 16 , y2 = 12

Resolvemos el sistema por el método de sustitución despejando la incógnita x de la segunda ecuación:

            x - y = 1     ⇔     x = 1 + y


           20x - 16y - xy = 22     ⇒     20(1 + y) - 16y - (1 + y)y = 22     ⇒     20 + 20y - 16y - y - y2 = 22     ⇒     y2 - 3y + 2 = 0


            geom5_solucion


            Si  y = 2     ⇒     x = 1 + y = 3

            Si  y = 1     ⇒     x = 1 + y = 2


El sistema tiene dos soluciones:   x1 = 3 ,   y1 = 2   ;   x2 = 2   ,   y2 = 1

Lo resolvemos mediante el método de sustitución.

            rombo_sol1


            rombo_sol2


            rombo_sol3


Se trata de una ecuación bicuadrática. Para resolverla hacemos el cambio de variable:     z = y2

Nos queda una ecuación de segundo grado:     z2 - 100z + 2304 = 0


             rombo_sol4


Si  z = 64     ⇒     z = y2     ⇒     y = ±√z = ±√64 = ±8

Si  z = 36     ⇒     z = y2     ⇒     y = ±√z = ±√36 = ±6


Sustituimos para calcular el valor de x en cada caso:

Si  y = 8     ⇒      x = 48/y = 48/8 = 6


Si  y = -8     ⇒      x = 48/y = 48/-8 = -6


Si  y = 6     ⇒      x = 48/y = 48/6 = 8


Si  y = -6     ⇒      x = 48/y = 48/-6 = -8


El sistema tiene cuatro soluciones:
x1 = 6  ,  y1 = 8    ;    x2 = -6  ,  y2 = -8    ;    x3 = 8  ,  y3 = 6    ;    x4 = -8  ,  y4 = -6

Aplicamos el método de igualación despejando la variable y en ambas ecuaciones:

            cartulina_sist1


            cartulina_sist2


Igualamos ambos resultados:

            cartulina_sist3


            cartulina_sist4


            cartulina_sist5


Como   x ≠ 0 ,  necesariamente:     240x - 5760 = 0     ⇔     240x = 5760     ⇔     x = 24

Si  x = 24    ⇒     y = 240/x = 10


La solución del sistema es:    x = 24 , y = 10


Resolvemos el sistema mediante sustitución.

Despejamos la variable x de la primera ecuación:

x + y = 25      ⇒      y = 25 - x

Sustituimos por  y = 25 - x  y resolvemos:

            


Aplicamos:     m.c.m.(x, 25 - x , 6) = 6x(25 - x)

            


            


            


            trabajo2_sol


Si  x = 15     ⇒     y = 25 - x = 10

Si  x = 10     ⇒     y = 25 - 10 = 15


Realizamos los siguientes cambios de variable:


1 x  = t 1 y  = z



De esta forma obtenemos el siguiente sistema:


{ 3t + z =  3 2 4t + 4z =  10 3



A continuación quitamos denominadores:


{ 6t + 2z = 3 12t + 12z = 10



Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción:


reduccion



Despejando la ecuación resultante tenemos que:


z = 1/2



Sustituimos el valor de   z   para calcular   t :


6t + 2z = 3


6t + 1 = 3


6t = 2


t = 1/3



Por último tenemos que deshacer el cambio de variable:


1 x  =  1 3 1 y  =  1 2



Por lo tanto las soluciones son:


x = 3


y = 2