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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por sustitución:


1 )     { x + y = 10 6x - 7y = 34



Despejando   x   en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, obtenemos:


y = 10 - x


6x - 7(10 - x) = 34


6x - 70 + 7x = 34


13x = 104


Por lo tanto, resolviendo la ecuación:


x = 8


Y sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación, tenemos que:


y = 10 - x


y = 2




2 )     { 3x 4  +  4y 5  = 21 2x 3  +  3y 5  = 17



m.c.m. (4, 5) = 20


m.c.m. (3, 5) = 15


Quitando denominadores tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:



{ 15x + 16y = 420 10x + 9y = 255



Despejando   x   en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, obtenemos:


x =  420 - 16y 15 10 ( 420 - 16y 15 ) + 9y = 255


Quitamos denominadores multiplicando cada miembro de la ecuación por 15.


10(420 - 16y) + 135y = 3825


4200 - 160y + 135y = 3825


- 25y = - 375


y = 15


Y sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación, tenemos que:


x =  420 - 16y 15  =  420 - 240 15  =  180 15


x = 12


Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por igualación:


1 )     { x + y = 10 6x - 7y = 34



Despejando la incógnita   x   en ambas ecuaciones obtenemos el siguiente sistema:


{ x = 10 - y x =  34 + 7y 6


Mediante igualación, tenemos que:


10 - y =  34 + 7y 6


6(10 - y) = 34 + 7y


60 - 6y = 34 + 7y


26 = 13y


y = 2


Por lo tanto, tenemos que:


x = 10 - y


x = 8




2 )     { 3x 4  +  4y 5  = 21 2x 3  +  3y 5  = 17



m.c.m. (4, 5) = 20


m.c.m. (3, 5) = 15


Quitando denominadores tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:



{ 15x + 16y = 420 10x + 9y = 255



Despejando la incógnita   x   en ambas ecuaciones obtenemos el siguiente sistema:


{ x =  420 - 16y 15 x =  255 - 9y 10


Mediante igualación, tenemos que:


420 - 16y 15  =  255 - 9y 10


m.c.m. (15, 10) = 30


Quitando denominadores tenemos que:


2(420 - 16y) = 3(255 - 9y)


840 - 32y = 765 - 27y


75 = 5y


y = 15


Y sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación:


x =  420 - 16y 15  =  420 - 240 15  =  180 15


x = 12



Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por reducción:


1 )     { x + y = 10 6x - 7y = 34



Multiplicando la primera ecuación por 7, tenemos que:


sistemas_reduccion


Resolviendo la ecuación obtenemos que:


x = 8


Sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación del sistema, obtenemos el valor para   y:


y = 10 - x


y = 2




2 )     { 3x 4  +  4y 5  = 21 2x 3  +  3y 5  = 17



m.c.m. (4, 5) = 20


m.c.m. (3, 5) = 15


Quitando denominadores tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:



{ 15x + 16y = 420 10x + 9y = 255



Multiplicamos la primera ecuación por   2   y la segunda ecuación por   - 3.


sistema_reduccion


Resolviendo la ecuación tenemos que:


y = 15


Y sustituyendo el valor de   x   en la primera ecuación:


x =  420 - 16y 15  =  420 - 240 15  =  180 15


x = 12





Resolvemos el sistema mediante el método de reducción:


Multiplicamos por 8 la segunda ecuación.


sist3_reduccion


Si  x = 32    ⇒    y = x - 27 = 32 - 27 = 5


La solución del sistema es:    x = 32  ,  y = 5

 





Lo resolvemos por el método de sustitución, pues ya tenemos la variable x despejada en la primera ecuación. Primero simplificamos la segunda ecuación, después, sustituimos por  x = 3y:


            x + 16 = 2(y + 16)    ⇒    x + 16 = 2y + 32    ⇒    x - 2y = 32 - 16    ⇒    x - 2y = 16


            x - 2y = 16    ⇒    3y - 2y = 16    ⇒    y = 16


Si  y = 16    ⇒    x = 3y = 3·16 = 48


La solución del sistema es: x = 48 , y = 16