Ecuaciones de grado superior a dos
Para resolver una ecuación de grado mayor que dos, se saca factor común y después se factoriza por el método de Ruffini.
Ejemplos de ecuaciones de grado superior a dos
1) Resuelve la ecuación: x6 + x5 - 8x4 - 8x3 + 16x2 + 16x = 0
En primer lugar sacamos factor común x:
x (x5 + x4 - 8x3 - 8x2 + 16x + 16) = 0
Ahora obtenemos la raíces del polinomio igualando a cero ambos factores del producto:
x = 0
x5 + x4 - 8x3 - 8x2 + 16x + 16 = 0
Por tanto ya tenemos la primera de las soluciones: x = 0
En segundo lugar, factorizamos el resto del polinomio.
Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio: ±1 , ±2 , ±4 , ±8 y ±16
P(1) = 15 + 14 - 8·13 - 8·12 + 16·1 + 16 = 14 ≠ 0
P(-1) = (-1)5 + (-1)4 - 8·(-1)3 - 8·(-1)2 + 16·(-1) + 16 = 0
P(2) = 25 + 24 - 8·23 - 8·22 + 16·2 + 16 = 0
P(-2) = (-2)5 + (-2)4 - 8·(-2)3 - 8·(-2)2 + 16·(-2) + 16 = 0
Por tanto, la ecuación factorizada es:
x6 + x5 - 8x4 - 8x3 + 16x2 + 16x = x (x + 1) (x - 2)2 (x + 2)2
Igualando cada uno de los factores a cero obtenemos las soluciones de la ecuación:
x = 0
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
(x - 2)2 = (x - 2)(x - 2) = 0 ⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
Tenemos una raíz doble en x = 2.
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = -2
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
Tenemos una raíz doble en x = -2.
Por tanto, las soluciones de esta ecuación son:
x1 = 0 , x2 = -1 , x1 = 0 , x3 = 2 , x4 = 2 , x5 = -2 , x6 = -2
2) Resuelve la ecuación: 6x5 + 7x4 - 9x3 + 2x2 = 0
En primer lugar sacamos factor común x2:
x2(6x3 + 7x2 - 9x + 2) = 0
Ahora obtenemos la raíces del polinomio igualando a cero ambos factores del producto:
x2 = 0 ⇒ x = 0 , que es una raíz doble.
6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0
Por tanto ya tenemos las dos primeras soluciones que valen: x = 0
En segundo lugar, factorizamos el resto del polinomio.
Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio: ±1 y ±2
P(1) = 6·13 + 7·12 - 9·1 + 2 = 6
P(-1) = 6·(-1)3 + 7·(-1)2 - 9·(-1) + 2 = 12 ≠ 0
P(2) = 6·23 + 7·22 - 9·2 + 2 = 60 ≠ 0
P(-2) = 6·(-2)3 + 7·(-2)2 - 9·(-2) + 2 = 0
Por tanto, la ecuación factorizada es:
6x5 + 7x4 - 9x3 + 2x2 = x2(x + 2)(6x2 - 5x + 1) = 0
Igualando cada uno de los factores a cero obtenemos las soluciones de la ecuación:
x2 = 0 ⇒ x = 0 , que es raíz doble.
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
6x2 - 5x + 1 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Por tanto:
Luego las soluciones de esta ecuación son: