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Ecuaciones de grado superior a dos

Para resolver una ecuación de grado mayor que dos, se saca factor común y después se factoriza por el método de Ruffini.


Ejemplos de ecuaciones de grado superior a dos

1)    Resuelve la ecuación:   x6 + x5 - 8x4 - 8x3 + 16x2 + 16x = 0

En primer lugar sacamos factor común x:

      x (x5 + x4 - 8x3 - 8x2 + 16x + 16) = 0


Ahora obtenemos la raíces del polinomio igualando a cero ambos factores del producto:

      x = 0

      x5 + x4 - 8x3 - 8x2 + 16x + 16 = 0


Por tanto ya tenemos la primera de las soluciones:   x = 0


En segundo lugar, factorizamos el resto del polinomio.


Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio:   ±1 ,   ±2 ,   ±4 ,  ±8   y   ±16


      P(1) = 15 + 14 - 8·13 - 8·12 + 16·1 + 16 = 14 ≠ 0


      P(-1) = (-1)5 + (-1)4 - 8·(-1)3 - 8·(-1)2 + 16·(-1) + 16 = 0


      P(2) = 25 + 24 - 8·23 - 8·22 + 16·2 + 16 = 0


      P(-2) = (-2)5 + (-2)4 - 8·(-2)3 - 8·(-2)2 + 16·(-2) + 16 = 0


      ec_factorizacion

Por tanto, la ecuación factorizada es:


      x6 + x5 - 8x4 - 8x3 + 16x2 + 16x = x (x + 1) (x - 2)2 (x + 2)2


Igualando cada uno de los factores a cero obtenemos las soluciones de la ecuación:

      x = 0

      x + 1 = 0   ⇒   x = -1

      (x - 2)2 = (x - 2)(x - 2) = 0   ⇒   x - 2 = 0   ⇒   x = 2

                                                       x - 2 = 0   ⇒   x = 2


Tenemos una raíz doble en x = 2.


      (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = 0   ⇒   x + 2 = 0   ⇒   x = -2

                                                         x + 2 = 0   ⇒   x = -2


Tenemos una raíz doble en x = -2.

Por tanto, las soluciones de esta ecuación son:


      x1 = 0   ,   x2 = -1   ,   x1 = 0   ,   x3 = 2   ,   x4 = 2   ,   x5 = -2   ,   x6 = -2

            2)     Resuelve la ecuación:   6x5 + 7x4 - 9x3 + 2x2 = 0

En primer lugar sacamos factor común  x2:


      x2(6x3 + 7x2 - 9x + 2) = 0

Ahora obtenemos la raíces del polinomio igualando a cero ambos factores del producto:

      x2 = 0   ⇒   x = 0 , que es una raíz doble.

      6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0

Por tanto ya tenemos las dos primeras soluciones que valen:   x = 0

En segundo lugar, factorizamos el resto del polinomio.

Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio:   ±1   y   ±2


      P(1) = 6·13 + 7·12 - 9·1 + 2 = 6


      P(-1) = 6·(-1)3 + 7·(-1)2 - 9·(-1) + 2 = 12 ≠ 0


      P(2) = 6·23 + 7·22 - 9·2 + 2 = 60 ≠ 0


      P(-2) = 6·(-2)3 + 7·(-2)2 - 9·(-2) + 2 = 0



      ec_factorizacion2


Por tanto, la ecuación factorizada es:


      6x5 + 7x4 - 9x3 + 2x2 = x2(x + 2)(6x2 - 5x + 1) = 0


Igualando cada uno de los factores a cero obtenemos las soluciones de la ecuación:


      x2 = 0   ⇒   x = 0 , que es raíz doble.

      x + 2 = 0   ⇒   x = -2

      6x2 - 5x + 1 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

      ec_factor_2grado

Por tanto:

      


Luego las soluciones de esta ecuación son:

      ec_factor_soluciones


izquierda
         arriba
derecha