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Teorema del resto y teorema del factor

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x) por   ( x - a )   es igual al valor numérico de dicho polinomio en    x = a  .

Demostración teorema del resto

P(x) = (x - a) · C(x) + r

Si hacemnos x = a

P(a) = (a - a) · C(a) + r = r


Haya el valor numérico del polinomio   P(x) = x3 - 5x2 - x - 1   para   x = 2 .


a) Utilizando la definición del valor numérico.

P(2) = 23 - 5 · 22 - 2 - 1 = 8 - 20 - 2 - 1 = -15


b) Haciendo la división.

(x3 - 5x2 - x - 1) : (x - 2)

Para dividir entre   (x - 2),   utilizamos la regla de Ruffini.

          ruffini

Por tanto,   r = - 15 = P(2)    TEOREMA DEL RESTO

Teorema del factor

Un polinomio   P(x)   tiene como factor   ( x - a)   , o se dice que es divisible por el binomio    ( x - a)   , si el valor numérico de dicho polinomio para    x = a    es cero.



Al número    a    se le llama raíz del polinomio P(x).


Las raices enteras de un polinomio son divisores del término independiente siempre que este no sea nulo.


Comprueba si   -1   y   3   son raices del polinomio   P(x) = x3 - 27   y factoriza dicho polinomio


Divisores de 27 = Div(27) = {1, -1, 3, -3, 9, -9, 27, -27}


P(-1) = (-1)3 - 27 = -28        -1 no es raiz de P(x)

P(3) = 33 - 27 = 0                  3 si es raiz de P(x)


          ruffini_3


De esta forma se cumple que:

P(x) = x3 - 27 = (x - 3) · (x2 + 3x + 9)

izquierda
         arriba
derecha