INICIOEjercicios resueltos de ecuaciones de grado superior
1) Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado:
x3 - x2 - 4 = 0
Las posibles soluciones enteras son los divisores de 4.
Div (4) = {±1, ±2, ±4}
Sustituimos x = 1 para ver si es una posible solución.
13 - 12 - 4 = 1 - 1 - 4 = - 4 ≠0
Por lo tanto x = 1 no es solución.
Sustituimos x = - 1 para ver si es una posible solución.
( -1)3 - (- 1)2 - 4 = - 1 - 1 - 4 = - 6 ≠0
Por lo tanto x = - 1 no es solución.
Sustituimos x = 2 para ver si es una posible solución.
23 - 22 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0
Para x = 2 si se cumple la ecuación, por lo tanto es solución.
Aplicamos la regla de Ruffini:
Por lo tanto la ecuación se descompone de la siguiente forma:
x3 - x2 - 4 = (x - 2) (x2 + x + 2) = 0
A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 + x + 2 = 0
El discriminante es negativo, por lo tanto no tiene soluciones reales.
La única solución real de la ecuación es: x = 2.
2) Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado:
x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0
Las posibles soluciones enteras son los divisores de 6.
Div (6) = {±1, ±2, ±3, ±6}
Sustituimos x = 1 para ver si es una posible solución.
13 + 2·12 - 5·1 - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8 ≠0
Por lo tanto x = 1 no es solución.
Sustituimos x = - 1 para ver si es una posible solución.
( -1)3 + 2·(- 1)2 - 5·(- 1) - 6 = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0
Para x = - 1 si se cumple la ecuación, por lo tanto es solución.
Aplicamos la regla de Ruffini para descomponer la ecuación:
Por lo tanto la ecuación se descompone de la siguiente forma:
x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 1) (x2 + x - 6) = 0
A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 + x - 6 = 0
Por lo tanto las tres raíces de la ecuación son:
x1 = - 1 , x2 = 2 , x3 = - 3
3) Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado:
x4 - x3 - 16x2 - 20x = 0
En primer lugar sacamos factor común:
x·(x3 - x2 - 16x - 20) = 0
Por lo tanto, x1 = 0 es una solución a la ecuación.
A continuación buscamos las raíces de: x3 - x2 - 16x - 20 = 0
Las posibles soluciones enteras son los divisores de 20.
Div (20) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20}
Para x = 5 se cumple la ecuación.
53 - 52 - 16·5 - 20 = 125 - 25 - 80 - 20 = 0
Por lo tanto x2 = 5 es solución de la ecuación.
Aplicamos la regla de Ruffini:
La ecuación inicial se descompone por lo tanto de la siguiente forma:
x·(x - 5) (x2 + 4x + 4) = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 + 4x + 4 = 0
La ecuación inicial se descompone en los siguientes factores:
x4 - x3 - 16x2 - 20x = x·(x - 5) (x + 2) (x + 2)
Por lo tanto las cuatro raíces de la ecuación son:
x1 = 0 , x2 = 5 , x3 = - 2 y x4 = - 2
4) Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado:
6x4 - 17x3 + 7x2 + 8x - 4 = 0
Aplicamos la regla de Ruffini:
Por lo tanto obtenemos que:
6x4 - 17x3 + 7x2 + 8x - 4 = (x - 1) (x - 2) (6x2 + x - 2) = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado: 6x2 + x - 2 = 0
La ecuación inicial se descompone en los siguientes factores:
Por lo tanto las cuatro raíces de la ecuación son:
x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 1/2
y x4 = -2/35) Resuelve la siguiente ecuación de grado siete:
2x2 (x - 3)2 (3x + 4)3 = 0
2x2 = 0 ⇔ x2 = 0/2 = 0 ⇔ x = ±√0 ⇔ x = 0 , es una raíz doble
(x - 3)2 = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 , es una raíz doble
(3x + 4)3 = 0 ⇔ 3x + 4 = 0 ⇔ 3x = - 4 ⇔ x = - 4/3 , es una raíz triple
Por tanto, las siete raíces de la ecuación son:
x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 3 , x4 = 3 , x5 = -4/3 , x6 = -4/3 , x7 = -4/3