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Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Circunferencia goniométrica

Una circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio 1 unidad de longitud y centrada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianes.





Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Al punto   A   le asignamos un ángulo:


seno primer cuadrante                       coseno primer cuadrante                   tangente primer cuadrante

cosecante primer cuadrante               secante primer cuadrante             cotangente primer cuadrante

El seno de un ángulo   α   coincide con el valor de la ordenada en el punto:   sen α = y

El coseno de un ángulo   α   coincide con el valor de la abscisa en el punto:   cos α = x

La tangente de un ángulo   α   es el cociente entre la ordenada y la abscisa:   tg α = y/x



Signo de las razones trigonométricas

En cada cuadrante el seno tiene el mismo signo que la ordenada y el coseno el mismo que la abscisa. El signo de la tangente se obtiene aplicando la regla de los signos de la división del seno entre el coseno.


Seno, coseno y tangente de un ángulo entre   0o   y   360o

Primer cuadrante

El punto A tiene coordenadas (x, y)

El punto A' tiene de coordenadas (1, y')

Segundo cuadrante

El punto A tiene coordenadas (-x, y)

El punto A' tiene de coordenadas (1, -y')

Tercer cuadrante

El punto A tiene coordenadas (-x, -y)

El punto A' tiene de coordenadas (1, y')

Cuarto cuadrante

El punto A tiene coordenadas (x, -y)

El punto A' tiene de coordenadas (1, -y')

Razones trigonométricas de un ángulo en los cuadrantes


Al punto   A   le asignamos un ángulo:

  0
π/2
90º
π
180º
3π/2
270º

360º
seno
0
1
0
- 1
0
coseno
1
0
- 1
0
1
tangente
0
No definida
0
No definida
0

Razones trigonométricas de un ángulo multiplo de 45º



Razones trigonométricas de un ángulo multiplo de 30º y 60º


Ejemplos:

1) Demuestra que el punto P está en el círculo unitario o circunferencia goniométrica:

Para que se cumpla la ecuación del círculo unitario o circunferencia goniométrica, se tiene que dar que   x2 + y2 = 1

Es decir, el punto P está en el círculo unitario.


2) El punto P está en el tercer cuadrante. Encuentra su ordenada    y    para que dicho punto esté en el círculo unitario o circunferencia goniométrica:

Para que se cumpla la ecuación del círculo unitario o circunferencia goniométrica, se tiene que dar que   x2 + y2 = 1

Como la coordenada y tiene que estar en el tercer cuadrante, descartamos la solución positiva:


3) Calcula el punto sobre la circunferencia del círculo unitario o circunferencia goniométrica determinado por los siguientes ángulos:


izquierda
         arriba
derecha