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Problemas resueltos de medidas de ángulos.

1)     Pasa a forma compleja los siguientes ángulos expresados en segundos :
a)    6 930 "                     b)    262 135 "                    c)    6 342 '
d)    32,5º                       e)    43,28º                         f)    21,7 '

2)     Pasar a segundos los siguientes ángulos expresados en forma compleja :
a)    75º  25'  45"                  b)    33º  58'  4"

3)    Utilizando la forma decimal expresa :
a)    En grados : 55º  42'  30''                       b)    En grados : 120º  15'  40''
c)    En minutos : 90º  37'  6''                       d)    En minutos : 35º  55'  17''

4)    

5)     Efectúa las siguientes operaciones con ángulos :
a)    24º  35'  19" + 16º  13'  31"              b)    14º  28'  45" + 30º  34'  26"
c)    27º  36'  12" + 41º  39'  55"              d)    47º  39'  52" - 17º  26'  20"
e)    38º  6'  18" - 11º  32'  51"                 f)    90º - 19º  52'  23"
g)    180º - 147º  31'  9"                          h)    270º - 100º  16'  38"

6)     Efectúa las siguientes operaciones con ángulos :
a)    ( 14º  8'  11" ) · 3                       b)    ( 21º  28'  17" ) · 5         
c)    ( 32º  30'  15") · 4                      d)    ( 145º  35'  52" ) : 5
e)    ( 36º  47'  25" ) : 5                      f)    ( 145º  35'  48" ) : 12

7)     Halla el doble, el triple y el cuadruple del ángulo   43º  17'  55"

8)     En el ángulo   =  75º  41'  30"   trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide cada ángulo restante?

9)     Obtén en ángulo complementario y suplementario de los siguientes ángulos :
a)    35º             b)    20º             c)    59º 23'             d)    17º 39' 45"

10)     Dados los ángulos  = 48º  31'  27"   y   = 25º  11'  15"   determina el valor de de las amplitudes de estos ángulos :
a)    +               b)    -               c)    2 ·
d)    El complementario de        +
e)    El suplementario de          -
f)    El suplementario de           2 ·

11)     Dos ángulos son suplementarios y uno vale el doble que el otro. Halla el valor de dichos ángulos.

12)     Dos ángulos son complementario y uno vale el cuádruple del otro. Halla el valor de dichos ángulos.

13)     Determina la medida de estos dos ángulos, y resuelve las operaciones que se indican :


a)              b)              c)              d)   

14)     Calcula la amplitud del ángulo  X  en cada figura :

15)    Calcula el valor exacto de los ángulos que forman la aguja horaria y el minutero de un reloj a las horas siguientes :
a)    A las  4  de la mañana.
b)    A las  4  y cuarto.
c)    A las  4  y media.
d)    A las  2  y  20  minutos.

1)     Pasa a forma compleja los siguientes ángulos expresados en segundos :
a)    6 930 "                     b)    262 135 "                    c)   6 342 '
d)    32,5º                       e)    43,28º                         f)    21,7 '


a)



6 930 "  =  1º  55'  30"

b)


262 135"  = 72º  48'  55"

c)


6 342'  =  105º   42'

d)
En este caso, al ser números decimales, pasaremos la parte decimal a minutos.

32,5º    →    0,5  ·  60  =  30'    →    32,5º  =  32º  30'

e)
De forma análoga al apartado d, pasamos la parte decimal a minutos.

43,28º    →    0,28  ·  60  =  16,8'    →    Pasamos ahora la parte decimal de los minutos a segundos    →    0,8  ·  60  =  48"    →    43,28º  =  43º  16'  48"

f)
21,7'    →    0,7  ·  60  =  42"    →    21,7'  =  21'  42"

2)     Pasar a segundos los siguientes ángulos expresados en forma compleja :
a)    75º  25'  45"                  b)    33º  58'  4"


a)
75º  25'  45"     →     75  ·  3600  +  25  ·  60  +  45  =  270000  +  1500  +  45  =  271 545"

b)
En primer lugar pasamos los grados y minutos a segundos :



A continuación, sumamos todos los segundos :

118 800" + 3 480" + 4" = 122 284"

3)    Utilizando la forma decimal expresa :
a)    En grados : 55º  42'  30''                       b)    En grados : 120º  15'  40''
c)    En minutos : 90º  37'  6''                       d)    En minutos : 35º  55'  17''


a)
55º  42'  30''    →    55º  +  42  :  60  +  30  : 3 600  =  55  +  0,7  +  0,0083  =  55,7083º

b)
120º  15'  40''    →    120  +  15  :  60  +  40  :  3600  =  120  +  0,25  +  0,0111  =  120,2611º

c)
90º  37'  6''    →    90  ·  60  +  37  +  6  :  60  =  5400  +  37  +  0,1  =  5437,1'

d)
35º  55'  17''    →    35  ·  60  +  55  +  17  :  60  =  2100  +  55  +  0,2833  =  2155,2833'

5)     Efectúa las siguientes operaciones con ángulos :
a)    24º  35'  19" + 16º  13'  31"              b)    14º  28'  45" + 30º  34'  26"
c)    27º  36'  12" + 41º  39'  55"              d)    47º  39'  52" - 17º  26'  20"
e)    38º  6'  18" - 11º  32'  51"                 f)    90º - 19º  52'  23"
g)    180º - 147º  31'  9"                          h)    270º - 100º  16'  38"




6)     Efectúa las siguientes operaciones con ángulos :
a)    ( 14º  8'  11" ) · 3                       b)    ( 21º  28'  17" ) · 5         
c)    ( 32º  30'  15") · 4                      d)    ( 145º  35'  52" ) : 5
e)    ( 36º  47'  25" ) : 5                      f)    ( 145º  35'  48" ) : 12




7)     Halla el doble, el triple y el cuadruple del ángulo   43º  17'  55"


Doble :


110"  =  1'  50"     →     34'  +  1'  =  35'

Triple :


165"  =  2'  45"     →     51'  +  2'  =  53'

Cuadruple :


220"  =  3'  40"     →     68'  +  3'  =  71'     →     71'  =  1º  +  11'     →     172º  +  1º  =  173º

8)     En el ángulo   =  75º  41'  30"   trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide cada ángulo restante?


Como trazamos su bisectriz, tenemos que dividir el ángulo entre dos.






      →       Cada uno de los ángulos mide   
37º  50'  45"

9)     Obtén en ángulo complementario y suplementario de los siguientes ángulos :
a)    35º             b)    20º             c)    59º 23'             d)    87º 39' 45"


a)
Complementario :    90º  -  35º  =  55º          Suplementario :    180º  -  35º  =  145º

b)
Complementario :    90º  -  20º  =  70º          Suplementario :    180º - 20º = 160º

c)
Complementario :    90º  -  59º  23'    →    89º  60'  -  59º  23'  =  30º  37'
Suplementario :    180º  -  59º  23'    →    179º  60'  -  59º  23'  =  120º  37"

d)
Complementario :    90º  -  87º  39'  45"    →    89º  59'  60"  -  87º  39'  45"  =  2º  20'  15"
Suplementario :    180º  -  87º  39'  45"    →    179º  59'  60"  -  87º  39'  45"  =  92º  20'  15"

10)     Dados los ángulos  = 48º  31'  27"   y   = 25º  11'  15"   determina el valor de de las amplitudes de estos ángulos :
a)    +               b)    -               c)    2 ·
d)    El complementario de        +
e)    El suplementario de          -
f)    El suplementario de           2 ·


                         





11)     Dos ángulos son suplementarios y uno vale el doble que el otro. Halla el valor de dichos ángulos.


Un ángulo es   x   y el otro por ser el doble es   2 · x.   Como son suplementarios tenemos que :

x  +  2  ·  x  =  180     →     3  ·  x  =  180     →     x  =   =  60

Un ángulo mide   60º   y el otro mide   120º .

12)     Dos ángulos son complementario y uno vale el cuádruple del otro. Halla el valor de dichos ángulos.


Llamamos   x   a uno de los ángulos y el otro, como es el cuádruple de este, es   4  ·  x.   Como son complementarios tenemos que :

x  +  4  ·  x  =  90     →     5  ·  x  =  90     →     x  =   =  18

Un ángulo mide  
18º   y el otro mide   72º .

13)     Determina la medida de estos dos ángulos, y resuelve las operaciones que se indican :


a)              b)              c)              d)   


a)                                          b)                                         c)                                       d)
90º  +  270º  =  360º                270º  -  90º  =  180º                3  ·  270º  =  810º                4  ·  90º  =  360º

14)     Calcula la amplitud del ángulo  X  en cada figura :


         

15)    Calcula el valor exacto de los ángulos que forman la aguja horaria y el minutero de un reloj a las horas siguientes :
a)    A las  4  de la mañana.
b)    A las  4  y cuarto.
c)    A las  4  y media.
d)    A las  2  y  20  minutos.


Minutero :
                La aguja del minutero recorre  6º  en cada minuto.

Horaria :
        La aguja horaria recorre  0,5º  cada minuto.

a)
Minutero     →     0º
Horaria       →     4  ·  60  ·  0,5  =  120º

El ángulo que forman es   120º

b)
Minutero     →     15  ·  6  =  90º
Horaria       →     ( 4  ·  60  +  15 )  ·  0,5  =  255  ·  0,5  =  127,5

El ángulo que forman es :  127,5º  -  90º  =  37,5º

c)
Minutero     →     30  ·  6  =  180º
Horaria       →     ( 4  ·  60  +  30 )  ·  0,5  =  270  ·  0,5  =  135º

El ángulo que forman es :   180º  -  135º  =  45º

d)
Minutero     →     20  ·  6  =  120º
Horaria       →     ( 2  ·  60  +  20 )  ·  0,5  =  140  ·  0,5  =  70º

El ángulo que forman es :   120º  -  70º  =  50º