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Calcular el dominio y el recorrido de una función.

Calcular el dominio de una función

Funciones polinómicas

El dominio es   R   ya que para todo valor real de la variable   x   puede calcularse el correspondiente valor   y .


Son ejemplos de funciones polinómicas:


f(x) = x             g(x) = 3x - 2          h(x) = x2 - 3x + 5          q(x) = x4 - 3x2 + 8


Dom(f) = R        Dom(g) = R            Dom(h) = R                   Dom(q) = R


Funciones racionales

El dominio está formado por todos los números reales, excepto por aquellos que anulan el denominador.


Son ejemplos de funciones racionales:



El denominador de   f   se anula cuando   x - 2 = 0 , es decir,   x = 2 . Por lo tanto,   Dom(f) = R - {2}


El denominador de   g   se anula cuando   x2 - 9 = 0 , es decir,   x = ± 3 . Por lo tanto,    Dom(g) = R - {- 3, 3}


El denominador de   h   se anula cuando   5 - x = 0 , es decir,   x = 5 . Por lo tanto,    Dom(h) = R - {5}


Funciones irracionales

Para determinar el dominio de una función irracional existen dos casos:



Son ejemplos de funciones irracionales:



La función   f   tiene sentido, al ser   n   par, cuando   x - 5 ≥ 0 , es decir,   x ≥ 5 . Por lo tanto,   Dom(f) = [5, + ∞)


La función   h   tiene el mismo dominio, al ser   n   impar, que la función   x2 - 5 . Por lo tanto,    Dom(h) = R


Funciones exponenciales

El dominio de una función exponencial es igual al dominio de la función que aparezca en el exponente.



Son ejemplos de funciones exponenciales:



La función   f   tiene el mismo dominio que la función   x2 - 5 . Por lo tanto,   Dom(f) = R


La función   h   no tiene sentido cuando se anula el denominador del exponente,    x - 7 = 0 , es decir   x = 7 . Por lo tanto,   Dom(h) = R - {7}


Funciones logarítmicas

Debido a que solo tienen sentido los logaritmos de números positivos, resulta que:



Son ejemplos de funciones logarítmicas:



Para   f(x)   resolvemos la inecuación   x - 3 > 0 ,   es decir   x > 3 . Por lo tanto,    Dom(f) = (- ∞, 3)


Para   h(x)   resolvemos la inecuación   x2 - 4 > 0 ,   es decir   (x + 2)(x - 2) > 0


Para   x = - 3   tenemos que   (- 3)2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0 .


Para   x = 0   tenemos que   02 - 4 = - 4 < 0 .


Para   x = 3   tenemos que   32 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0 .


Por lo tanto,   Dom(h) = (- ∞, - 2) ∪ (2, +∞)


Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas


Calcular el recorrido de una función

Para hallar el recorrido de una función f(x) hacemos lo siguiente:


1.   Igualamos  f(x) = y


2.   Despejamos la variable  x.


3.   Estudiamos el dominio de la nueva función.


Ejemplo de recorrido de una función.

Vamos a hallar el recorrido de la función:


      


Calculamos su dominio:


3 - x = 0     ⇔     x = 3     ⇒     Dom(f) = R - {3}


Hacemos  f(x) = y  , y despejamos x:




No son del recorrido de  f  los siguientes valores de y:


•   Los que no permiten calcular x, es decir:   1 + y = 0     ⇔     y = - 1


•   Los que darían como resultado  x = 3:



No hay ningún valor de y para el que x tenga valor 3.


Por tanto:     Im(f) = R - {-1}


Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas

Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas inversas

izquierda
         arriba
derecha