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Ejercicios de función inversa

Calcula la función inversa y comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante:


1)   f(x) = 7


Esta función no es inyectiva, puesto que:


f(1) = f(2)


Es decir, dos elementos distintos tienen la misma imagen.


Por lo tanto,   f -1   no existe.



2)   f(x) = 2x - 5


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


f(x1) = f(x2)     ⇒     2x1 - 5 = 2x2 - 5     ⇒     2x1 = 2x2     ⇒     x1 = x2


Se realiza la comprobación al revés. Si dos imágenes son iguales, sus originales deben ser iguales.


En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación:   y = f(x)


y = 2x - 5


y + 5 = 2x


x = (y + 5)/2


Por último intercambiamos las variables:


inversa



inversa



Calcula la función inversa y comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante:


1)   f(x) = x2 + 2


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


Esta función no es inyectiva:     f(- 1) = f(1) = 3  , dos elementos distintos tienen la misma imagen.


Para valores reales positivos de la función ( x ≥ 0) podemos obtener su inversa, despejando la variable x :


inversa



Por último, intercambiamos las variables:


inversa



inversa



2)   f(x) = (x + 1)2


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


f(x1) = f(x2)     ⇒     (x1 + 1)2 = (x2 + 1)2     ⇒     x1 + 1 = x2 + 1     ⇒     x1 = x2


Por lo tanto la función es inyectiva.



En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



Por último, intercambiamos las variables:


inversa



inversa



Calcula la función inversa y comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante:


inversa


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


inversa


Por lo tanto la función es inyectiva.



En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



Por último, intercambiamos las variables:


inversa



inversa


Calcula la función inversa y comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante:


inversa


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


inversa


Por lo tanto la función es inyectiva.



En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



Por último, intercambiamos las variables:


inversa



inversa



inversa


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


inversa


Por lo tanto la función es inyectiva.



En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



Por último, intercambiamos las variables:


inversa



inversa


Calcula la función inversa y comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante:


inversa


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


inversa


Por lo tanto la función es inyectiva.



Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



A continuación, intercambiamos las variables:


inversa



inversa



inversa


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


inversa


Por lo tanto la función es inyectiva.



Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



A continuación, intercambiamos las variables:


inversa



inversa


Calcula la función inversa de las siguientes funciones:


funcion seno


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa seno


A continuación, intercambiamos las variables:


inversa seno


funcion racional tangente


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


funcion inversa tangente


A continuación, intercambiamos las variables:


inversa funcion tangente


funcion arcocoseno


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa arcococseno


A continuación, intercambiamos las variables:


inversa arcocoseno


Calcula la función inversa de las siguientes funciones:


1)   y = |x - 2|


En primer lugar definimos la función en intervalos:


inversa a trozos


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)   en cada rama:


inversa a trozos


A continuación, intercambiamos las variables:


inversa a trozos


2)   y = |4 - x2|


En primer lugar definimos la función en intervalos:


inversa a trozos


Resolvemos la inecuación:   4 - x2 ≥ 0

Las raíces de   4 - x2 = 0   son   x = ± 2

A continuación estudiamos el signo en los siguientes intervalos:


•   A = (-∞, -2)   ⇒   Para   x = - 3   tenemos que   f(-3) = 4 - (-3)2 = 4 - 9 = - 5 < 0

•   B = (-2, 2)   ⇒   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 4 - (0)2 = 4 - 0 = 4 > 0

•   C = (2, +∞)   ⇒   Para   x = 3   tenemos que   f(3) = 4 - (3)2 = 4 - 9 = - 5 < 0


Por lo tanto la función original queda definida de la siguiente manera:

inversa a trozos


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)   en cada rama:


inversa a trozos


A continuación, intercambiamos las variables:

inversa a trozos

Calcula la función inversa de las siguientes funciones y comprueba que la función dada, compuesta con su inversa, da la función identidad:


1)   f(x) = 1 - 3x


Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.


inversa


Por lo tanto la función es inyectiva.



Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



A continuación, intercambiamos las variables:


inversa



Comprobamos que la composición de la función original con su inversa resulta la función identidad:


inversa



2)   f(x) = x3 - 5


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



A continuación, intercambiamos las variables:


inversa



Comprobamos que la composición de la función original con su inversa resulta la función identidad:


inversa



3)   f(x) = 3x + 3


Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)


inversa



A continuación, intercambiamos las variables:


inversa



Comprobamos que la composición de la función original con su inversa resulta la función identidad:


inversa



Hemos aplicado la propiedad del cambio de base:


propiedad


Calcula  (f o g)-1  y   (f o g)-1(2)


inversa


En primer lugar calculamos   f o g(x) :


composicion



Para calcular la función inversa, comprobamos si   f o g(x)   es inyectiva:


inversa



Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f o g(x)


inversa



A continuación, intercambiamos las variables:


inversa



De esta forma tenemos que:


composicion


Comprueba que  (f o g)-1 = g-1 o f-1


inversa


Calculamos en primer lugar   f o g(x) :


composicion



A continuación calculamos su inversa despejando la variable   x :


inversa


Realizamos el intercambio de variables:


inversa



Ahora calculamos la función inversa de   f(x)  despejando la variable x :


inversa



Realizando el intercambio de variables tenemos que:


inversa



Calculamos también la función inversa de   g(x) :


inversa



Realizando el intercambio de variables tenemos que:


inversa



Por último, calculamos   g-1 o f -1 :


inversa