Ejercicios de función inversa

1)   f(x) = 7

Esta función no es inyectiva, puesto que:

f(1) = f(2)

Es decir, dos elementos distintos tienen la misma imagen.

Por lo tanto,   f ^-1   no existe.

2)   f(x) = 2x - 5

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

f(x₁) = f(x₂)     ⇒     2x₁ - 5 = 2x₂ - 5     ⇒     2x₁ = 2x₂     ⇒     x₁ = x₂

Se realiza la comprobación al revés. Si dos imágenes son iguales, sus originales deben ser iguales.

En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación:   y = f(x)

y = 2x - 5

y + 5 = 2x

x = (y + 5)/2

Por último intercambiamos las variables:

1)   f(x) = x² + 2

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Esta función no es inyectiva:     f(- 1) = f(1) = 3  , dos elementos distintos tienen la misma imagen.

Para valores reales positivos de la función ( x ≥ 0) podemos obtener su inversa, despejando la variable x :

Por último, intercambiamos las variables:

2)   f(x) = (x + 1)²

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

f(x₁) = f(x₂)     ⇒     (x₁ + 1)² = (x₂ + 1)²     ⇒     x₁ + 1 = x₂ + 1     ⇒     x₁ = x₂

Por lo tanto la función es inyectiva.

En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

 

Por último, intercambiamos las variables:

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Por lo tanto la función es inyectiva.

En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

Por último, intercambiamos las variables:

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Por lo tanto la función es inyectiva.

En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

Por último, intercambiamos las variables:

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Por lo tanto la función es inyectiva.

En segundo lugar, despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

Por último, intercambiamos las variables:

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Por lo tanto la función es inyectiva.

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Por lo tanto la función es inyectiva.

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

 

A continuación, intercambiamos las variables:

1)   y = |x - 2|

En primer lugar definimos la función en intervalos:

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)   en cada rama:

A continuación, intercambiamos las variables:

2)   y = |4 - x²|

En primer lugar definimos la función en intervalos:

Resolvemos la inecuación:   4 - x² ≥ 0

Las raíces de   4 - x² = 0   son   x = ± 2

A continuación estudiamos el signo en los siguientes intervalos:

•   A = (-∞, -2)   ⇒   Para   x = - 3   tenemos que   f(-3) = 4 - (-3)² = 4 - 9 = - 5 < 0

•   B = (-2, 2)   ⇒   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 4 - (0)² = 4 - 0 = 4 > 0

•   C = (2, +∞)   ⇒   Para   x = 3   tenemos que   f(3) = 4 - (3)² = 4 - 9 = - 5 < 0

Por lo tanto la función original queda definida de la siguiente manera:

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)   en cada rama:

A continuación, intercambiamos las variables:

1)   f(x) = 1 - 3x

Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos elementos son distintos tienen imágenes distintas.

Por lo tanto la función es inyectiva.

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Comprobamos que la composición de la función original con su inversa resulta la función identidad:

2)   f(x) = x³ - 5

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Comprobamos que la composición de la función original con su inversa resulta la función identidad:

3)   f(x) = 3^{x + 3}

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

Comprobamos que la composición de la función original con su inversa resulta la función identidad:

Hemos aplicado la propiedad del cambio de base:

En primer lugar calculamos   f o g(x) :

Para calcular la función inversa, comprobamos si   f o g(x)   es inyectiva:

Despejamos la variable   x   de la ecuación:   y = f o g(x)

A continuación, intercambiamos las variables:

De esta forma tenemos que:

Calculamos en primer lugar   f o g(x) :

A continuación calculamos su inversa despejando la variable   x :

Realizamos el intercambio de variables:

Ahora calculamos la función inversa de   f(x)  despejando la variable x :

Realizando el intercambio de variables tenemos que:

Calculamos también la función inversa de   g(x) :

Realizando el intercambio de variables tenemos que:

Por último, calculamos   g^-1 o f ^-1 :