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Ejercicios de dominio de funciones.

Halla el dominio de las siguientes funciones:


1)   f(x) = 5x

Es una función polinómica, por tanto:     Dom (f) = R



2)   f(x) = 4x3 +3x2 - 1

Es una función polinómica, por tanto:     Dom f(x) = R



3)   f(x) = (x - 5)2

Es una función polinómica, por tanto:     Dom f(x) = R



funcion

Es una función racional, por tanto, el dominio de f está formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

x3 = 0     ⇔     x = 0

Dom (f) = R - {0}



5)   El área de un cuadrado de lado  x , es  A = x2 .

El dominio de A es:   x > 0

Pues la longitud de los lados de un figura geométrica tiene que ser un número real positivo.

Hallar el dominio de las siguientes funciones racionales:


funcion

El dominio de f está formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

3x - 2 = 0     ⇔     x = 2/3

Dom (f) = R - {2/3}



funcion

El dominio de f está formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

x2 - 4 = 0     ⇔     x2 = 4     ⇔     x = ±√4     ⇔     x = ±2

Dom (f) = R - { 2, - 2}



funcion

El dominio de f está formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

x2 + 1 = 0     ⇔     x2 = - 1     ⇔     x = ±√-1 ∉ R

Dom (f) = R



funcion

El dominio de f está formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

x2 + x - 2 = 0

solucion_ec2grado

Dom (f) = R - { 1, - 2}



funcion

El dominio de f está formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

solucion_ecuacion

Dom (f) = R - { 0, 2, - 3}



Para ver su dominio calculamos los puntos que anulan al denominador:

raíces complejas

Los valores que anulan el denominador son complejos, por tanto, la función está bien definida para todo número real.

Luego:     Dom(f) = R

Hallar el dominio de las siguientes funciones irracionales:


funcion_irracional

El índice es par, por tanto,

el dominio de la función f serán aquellos valores reales tales que:   x - 3 ≥ 0

x - 3 ≥ 0     ⇔     x ≥ 3

Dom (f) = [3 , ∞)



funcion_irracional

El índice es impar, por tanto,

el dominio de la función f será el dominio de la función polinómica.

Dom f(x) = R



funcion_irracional

El índice es par, por tanto,

el dominio de la función f serán aquellos valores reales tales que:   x2 + 2 ≥ 0

Para cualquier valor de x se cumple que:    x2 + 2 ≥ 0

Dom (f) = R



funcion_irracional

El índice es par, por tanto,

el dominio de f serán aquellos valores reales tales que:   x2 - 5x ≥ 0

x2 - 5x = 0     ⇔     x(x - 5) = 0     ⇔     x = 0     ó     x = 5

Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ , 0) , (0, 5) , (5 , ∞)

      •   (-∞ , 0):     x = - 1     ⇒     x(x - 5) = (-1)(-1 - 5) > 0

      •   (0 , 5):     x = 1     ⇒     x(x - 5) = 1 - 5 < 0

      •   (5 , ∞):     x = 6     ⇒     x(x - 5) = 6(6 - 5) > 0

Dom (f) = (-∞ , 0] ∪ [5 , ∞)

Incluimos los valores x = 0 y x = 5, ya que la inecuación contiene el signo = .



Hallar el dominio de las siguientes funciones irracionales:


Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo los argumentos de cada raíz:

3 + x ≥ 0     y     3 - x ≥ 0

Resolvemos el sistema de inecuaciones:

sistema de inecuaciones

Dom(f) = (-∞ , -3] ∩ [3 , ∞) = [-3 , 3]



Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo el argumento de la raíz:

3 - 2x - x2 = 0     ⇔     x = 1   ,   x = -3

3 - 2x - x2 = - (x - 1)(x + 3) ≥ 0

Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ -3)   ,   (-3 , 1)   ,   (1 , ∞)

      •   (-∞ , -3) :     x = -4     ⇒     - (-4 - 1)(-4 + 3) < 0

      •   (-3 , 1) :     x = 0     ⇒     - (0 - 1)(0 + 3) > 0

      •   (1 , ∞) :     x = 2     ⇒     - (2 - 1)(2 + 3) < 0

Por tanto:     3 - 2x - x2 ≥ 0     ⇔     x ∈ [- 3 , 1]

Dom(f) = [-3 , 1]



Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen positivo el argumento de la raíz:

x2 - 6x + 9 = 0     ⇔     x = 3

x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 ≥ 0

El argumento de la raíz siempre es mayor o igual que 0.

Por tanto, la función f está bien definida en toda la recta real.

Dom(f) = R

Hallar el dominio de las siguientes funciones irracionales:


funcion

El domino de la función está formado por todos los números reales,

excepto los valores que anulan el denominador y

los que hacen el radicando menor que cero.

x > 0     ⇔     x ∈ (0 , ∞)

Dom (f) = (0, ∞)



funcion_irracional

El dominio de f serán aquellos valores reales tales que   x - 3 > 0.

x - 3 > 0     ⇔     x > 3     ⇔     x ∈ (3 , ∞)

Dom (f) = (3 , ∞)



funcion_irracional

El dominio de f serán aquellos valores reales tales que   2x - x2 > 0.

2x - x2 = 0     ⇔     x (2 - x) = 0     ⇔     x = 0   ó   x = 2

Estudiamos el signo en los intervalos:     (-∞ , 0) , (0 , 2) , (2 , ∞)

         •  (-∞ , 0):   x = - 1     ⇒     x(2 - x) = (-1)(2 + 1) < 0

         •  (0 , 2):   x = 1     ⇒     x(2 - x) = 2 - 1 > 0

         •  (2 ,∞):   x = 3     ⇒     x(2 - x) 3(2 - 3) < 0

Dom (f) = (0 , 2)



funcion_irracional

El índice es impar, por tanto, el dominio de f estará

formado por todos los números reales excepto

aquellos que anulan el denominador.

solucion

Dom (f) = R - {2}

Hallar el dominio de las siguientes funciones logarítmicas:


funcion_logaritmica

El dominio de f estará formado por todos los números reales tales que  x - 7 > 0

x - 7 > 0     ⇔     x > 7     ⇔     x ∈ (7 , ∞)

Dom (f) = (7 , ∞)



funcion_logaritmica

El dominio de f estará formado por todos los números reales tales que  4 + x > 0

4 + x > 0     ⇔     x > - 4     ⇔     x ∈ (- 4 , ∞)

Dom (f) = (-4 , ∞)



funcion_logaritmica

El dominio de f estará formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador y

y aquellos que hacen negativo:    8/(5 - x)

x - 5 = 0     ⇔     x = 5

solucion_inecuacion

Como 5 ∉ (-∞ 5) , tenemos que:      Dom (f) = (-∞ , 5)



Para ver su dominio calculamos los puntos que hacen estrictamente positivo el argumento del logaritmo:

x2 - 4 > 0     ⇔     x2 > 4     ⇔     |x| >√4     ⇔     |x| >2     ⇔     x < -2   y   x > 2     ⇔     x ∈ (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞)

Dom(f) = (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞)

Es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en  (-∞ , -2) ∪ (2 , ∞) .   Por tanto, la función no tiene puntos de discontinuidad.



El argumento del logaritmo es racional. El único punto que anula su denominador es x = 0 .     

Veamos ahora para qué puntos el argumento del logaritmo es estrictamente positivo:

inecuación

También se tiene que cumplir:      x ≠ 0

Dom(f) = (-2 , ∞) - {0} = (-2 , 0) ∪ (0 , ∞)

Es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, es continua en  (-2 , 0) ∪ (0 , ∞) .   Por tanto, la función no tiene puntos de discontinuidad.

Halla el dominio de las siguientes funciones exponenciales:


funcion_exponencial

El dominio de f será el mismo que el del exponente:    2x - 6

Por tanto:     Dom (f) = R



funcion_exponencial

El dominio de f estará formado por todos los números reales tales que   x > 0

Dom (f) = (0 , ∞)



funcion_exponencial

El dominio de f estará formado por todos los números reales tales que   (x - 1) > 0

x - 1 > 0      ⇔     x > 1     ⇔     (1 , ∞)

Dom (f) = (1 , ∞)

funcion_exponencial

 

El dominio de f estará formado por todos los números reales,

excepto aquellos que anulan el denominador del exponente:   x + 1

x + 1 = 0     ⇔     x = - 1

Dom (f) = R - {-1}

Halla el dominio de las siguientes funciones trigonométricas:


1)   f(x) = sen x


Dom (f) = R



2)   f(x) = cos x


Dom (f) = R



3)   f(x) = tg x


tangente

El dominio de f estará formado por todos los números reales,

excepto por aquellos que anulan el denominador.

raices_coseno

De forma general, si avanzamos  kπ ,  con  k ∈ Z:

raices_coseno


raices_coseno


dominio_tangente