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Ejercicios de dominio y recorrido de funciones

Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


1)   f(x) = 3x + 1



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Calculamos el recorrido:


despejamos_x

Está bien definida para cualquier valor de  y, por tanto:


Im (f) = R

                        funcion




2)   f(x) = 2x2



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Calculamos el recorrido:


recorrido


Para que esté bien definida:


inecuacion


Im (f) = [0 , ∞)

                        funcion   




Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


1)   f(x) = -3x2



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Calculamos el recorrido:


despejamos_x


Para que esté bien definida:


inecuacion


Im (f) = (-∞ , 0]





                        funcion






2)   f(x) = x3



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Calculamos el recorrido:


despejamos_x


Está bien definida para cualquier valor de  y, por tanto:


Im (f) = R

                        funcion

Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


funcion_racional


El dominio de f está formado por todos los números reales,


excepto por aquellos que anulan el denominador.


Luego si  x = 0 ,  la función f no está definida.



tabla_de_valores


Dom (f) = R - {0}


Calculamos el recorrido:


despejamos_x


Para que esté bien definida no puede ser:    y = 0


Además, no existe ningún valor de y para el que x tenga valor 0:


comprobacion


Im (f) = R - {0}


                        funcion









funcion_racional


El dominio de f está formado por todos los números reales,


excepto por aquellos que anulan el denominador.


x2 - 4 = 0     ⇔     x2 = 4     ⇔     x = ±√4     ⇔     x = ±2



tabla_de_valores


Dom (f) = R - {-2 , 2}


Calculamos el recorrido:


despejamos_x


despejamos_x


Para que esté bien definida el argumento de la raíz tiene que ser positivo:


      y = 0   ,   2 + 4y = 0     ⇔     y = 0   ,   y = - 1/2


intervalo_1


intervalo_2


intervalo_3


Nos quedamos con los intervalos:     (-∞ , -1/2] ∪ (0 , ∞) = R - (-1/2 , 0]


Icluimos el valor  x = -1/2 ,  ya que el argumento puede ser 0.


Además, no existe ningún valor de   y   para el que   x   tenga valor  2  ó  - 2:


comprobacion


Im (f) = R - (-1/2 , 0]
































                        funcion

Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


funcion_radical


El dominio de f estará formado por aquellos


valores reales tales que:     x - 2 ≥ 0


x - 2 ≥ 0     ⇔     x ≥ 2     ⇔     x ∈ [2 , ∞)



tabla_de_valores


Dom (f) = [2 , ∞)


Calculamos el recorrido:


despejamos_x


Está bien definida para todo valor de R, y además, observamos que:    y2 + 2 ∈ R+ = [0 , ∞)


Im (f) = [0 , ∞)

                        funcion_radical







funcion_radical


El dominio de f estará formado por aquellos


valores reales tales que:     4 - x ≥ 0     y     4 + x ≥ 0


4 - x ≥ 0     ⇔     4 ≥ x     ⇔     x ∈ (-∞ , 4]


4 + x ≥ 0     ⇔     x ≥ - 4     ⇔     x ∈ [-4, ∞)



tabla_de_valores


Dom (f) = (-∞ , 4] ∩ [-4, ∞) = [-4, 4]


Im (f) = [√8 , 4]


                        funcion_radical

Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


1)   f(x) = 5x


El dominio de f será el mismo que el del exponente:    x



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Im (f) = (0 , ∞)


                        funcion_exponencial



funcion_exponencial


El dominio de f estará formado por todos los números reales,


excepto aquellos que anulan el denominador del exponente:   1 - x


1 - x = 0     ⇔     x = 1



tabla_de_valores


Dom (f) = R - {1}


Im (f) = [0 , 1) ∪ (1 , ∞)


                        funcion_exponencial

Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


1)   f(x) = log2(x + 3)


El dominio de f estará formado por todos los números reales tales que  x + 3 > 0


x + 3 > 0     ⇔     x > - 3     ⇔     x ∈ (-3 , ∞)



tabla_de_valores


Dom (f) = (-3 , ∞)


Im (f) = R


                        funcion_logaritmica

Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:


1)   f(x) = sen (x + 2)



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Im (f) = [-1 , 1]


                        funcion_seno




2)   f(x) = 1 + cos(x - 1)



tabla_de_valores


Dom (f) = R


Im (f) = [0 , 2]


                        funcion_coseno