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Estudio completo de funciones. Ejercicios resueltos.

Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:


1)   Tipo de función.


2)   Dominio.


3)   Recorrido o imagen.


4)   Continuidad.


5)   Periodicidad.


6)   Simetrías.


7)   Asíntotas.


8)   Corte con los ejes.


9)   Monotonía.


10)   Máximos y mínimos relativos.


11)   Curvatura y puntos de inflexión.



parabola


1)   Tipo de función:   es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Es una parábola.


2)   Dominio:   como es una función polinómica, Dom(f) = R.


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = [0 , ∞)


4)   Continuidad:   es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.


5)   Periodicidad:   no es periódica.


6)   Simetría:


      f(-x) = 4(-x)2 - 4x + 1 = 4x2 - 4x + 1


      f(-x) ≠ f(x)  , por lo que no tiene simetría par.


      f(-x) ≠ - f(x)  , por lo que no tiene simetría impar.


      La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.


7)   Asíntotas:   no tiene asíntotas.


8)   Corte con los ejes:


      •   x = 0:       y = 4x2 + 4x + 1     ⇒     y = 1     ⇒     A = (0 , 1)


      •   y = 0:       4x2 + 4x + 1 = 0


                        solucion


                        B = (-1/2 ,0)


      Signo:   es positiva en todo R.


9)   Monotonía:


      •   Creciente en:   (-1/2 , ∞)


      •   Decreciente en:   (-∞ , -1/2)


10)   Máximos y mínimos relativos:   tiene un mínimo relativo en el punto  (-1/2 , 0).


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


         Es una función cóncava en todo R.


         No tiene puntos de inflexión.


Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:


1)   Tipo de función.


2)   Dominio.


3)   Recorrido o imagen.


4)   Continuidad.


5)   Periodicidad.


6)   Simetrías.


7)   Asíntotas.


8)   Corte con los ejes.


9)   Monotonía.


10)   Máximos y mínimos relativos.


11)   Curvatura y puntos de inflexión.




funcion_cubica


1)   Tipo de función:   es una función polinómica de grado 3, es decir, es una función cúbica.


2)   Dominio:   Dom(f) = R


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = R


4)   Continuidad:   es continua en todo R, es decir, la función está bien definida para todo valor real.


5)   Periodicidad:   no es periódica.


6)   Simetrías:


      f(-x) = (-x)3 + 3x + 2 = - x3 + 3x + 2


      f(-x) ≠ f(x)  , por lo que no tiene simetría par.


      f(-x) ≠ - f(x)  , por lo que no tiene simetría impar.


      La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.


7)   Asíntotas:   no tiene asíntotas.


8)   Corte con los ejes:


      •  x = 0:      y = x3 - 3x + 2     ⇒     y = 2     ⇒     A = (0 , 2)


      •  y = 0:      x3 - 3x + 2 = 0


      Calculamos las raíces por el método de Ruffini:   los divisores del término independiente son  ±1 , ±2.


            descomposicion_Ruffini


      x3 - 3x + 2 = (x - 1)(x2 + x - 2) = 0     ⇔     x = 1  ,  x2 + x - 2 = 0


      raices


      Tenemos dos puntos de corte con el eje OX:    B = (1 , 0)  ,  C = (-2 , 0)


      Signo de la función:


      •   Positiva en:     (-2 , ∞)


      •   Negativa en:     (-∞ , -2)


9)   Monotonía:


      •   Creciente en:     (-∞ , -1) ∪ (1 , ∞)


      •   Decreciente en:     (-1 , 1)


10)   Máximos y mínimos relativos:


      Tiene un máximo relativo en el punto  (-1 , 4).


      Tiene un mínimo relativo en el punto  (1 , 0).


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


      •   Convexa en:     (-∞ , 0).


      •   Cóncava en:     (0 , ∞).


      Tiene un punto de inflexión en  (0 , 2).


Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:


1)   Tipo de función.


2)   Dominio.


3)   Recorrido o imagen.


4)   Continuidad.


5)   Periodicidad.


6)   Simetrías.


7)   Asíntotas.


8)   Corte con los ejes.


9)   Monotonía.


10)   Máximos y mínimos relativos.


11)   Curvatura y puntos de inflexión.




funcion


1)   Tipo de función:   es una función polinómica de grado 6.


2)   Dominio:   Dom(f) = R


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = [-2 , ∞)


4)   Continuidad:   Es una función continua en todo R, es decir, está bien definida para todo valor real.


5)   Periodicidad:   no es periódica.


6)   Simetrías:


      f(-x) = (-x)6 - 3(-x)2 = x6 - 3x2 = f(x)


      Como  f(-x) = f(x)  , tiene simetría par.


      La función f es simétrica respecto al eje  OY , como además se ve en la gráfica.


7)   Asíntotas:   no tiene asíntotas.


8)   Corte con los ejes:


      •   x = 0:     y = x6 - 3x2     ⇒     y = 0     ⇒     A = (0 , 0)


      •   y = 0:     x6 - 3x2 = 0     ⇒     x2(x4 - 3) = 0     ⇒     x = 0   ,   x4 - 3 = 0


                         x1 = 0


                         raices


      Tenemos tres puntos de corte con el eje  OX:     


      puntos_de_corte


      Signo de la función:


      signo_funcion


9)   Monotonía:


      •   Creciente en:     (-1 , 0) ∪ (1 , ∞)


      •   Decreciente en:     (-∞ , -1) ∪ (0 , 1)


10)   Máximos y mínimos relativos:


      Tiene un máximo relativo en  (0 , 0).


      Tiene dos mínimos relativos en  (-1 , -2)  y  (1 , -2).


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


      curvatura


Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:


1)   Tipo de función.


2)   Dominio.


3)   Recorrido o imagen.


4)   Continuidad.


5)   Periodicidad.


6)   Simetrías.


7)   Asíntotas.


8)   Corte con los ejes.


9)   Monotonía.


10)   Máximos y mínimos relativos.


11)   Curvatura y puntos de inflexión.




funcion_racional



1)   Tipo de función:   Es una función racional.


2)   Dominio:


      x2 - 4 = 0     ⇔     x2 = 4     ⇔     x = ±√4 = ±2


      Dom(f) = R - {-2 , 2}


3)   Recorrido o imagen:     Im(f) = R


4)   Continuidad:


      La función f no está definida ni en 2, ni en -2.


      Por tanto, f es continua en  R - {-2 , 2}.


5)   Periodicidad:   no es periódica.


6)   Simetrías:


      estudio_simetria


      f(-x) ≠ f(x)   , por lo que no tiene simetría par.


      f(-x) ≠ -f(x)   , por lo que no tiene simetría impar.


      La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.


7)   Asíntotas:


      Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a acercarse la gráfica de la función.


      Por la gráfica vemos que hay dos asíntotas verticales:     x = 2   ,   x = -2


      Además vemos que hay una asíntota horizontal en:     y = 0


      Podemos calcular las asíntotas verticales, pues son los valores que anulan al denominador:


                  x2 - 4 = 0     ⇔     x2 = 4     ⇔     x = ±√4 = ±2


      Calculamos la asíntota horizontal:  como se trata de una función racional, dividimos cada término por la variable x elevada al mayor exponente.


            limite


8)   Corte con los ejes:


      puntos_de_corte


      El punto de corte con el eje  OY  y con el eje  OX  es el mismo:     (0 , 0)


      Signo de la función:


      •   Positiva en:     (-2 , 0) ∪ (2 , ∞)


      •   Negativa en:     (-∞ , -2) ∪ (0 , 2)


9)   Monotonía:


      •   No hay ningún intervalo en el que la función sea creciente.


      •   Decreciente en:     (-∞ , -2) ∪ (-2 , 2) ∪ (2 , ∞)


10)   Máximos y mínimos relativos:   no tiene ni máximos ni mínimos relativos.


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


      •   Convexa en:     (-∞ , -2) ∪ (0 , 2)


      •   Cóncava en:     (-2 , 0) ∪ (2 , ∞)


      Tiene un punto de inflexión en:     (0 , 0)


Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:


1)   Tipo de función.


2)   Dominio.


3)   Recorrido o imagen.


4)   Continuidad.


5)   Periodicidad.


6)   Simetrías.


7)   Asíntotas.


8)   Corte con los ejes.


9)   Monotonía.


10)   Máximos y mínimos relativos.


11)   Curvatura y puntos de inflexión.




funcion_racional


1)   Tipo de función:   Es una función racional.


2)   Dominio:


      x2 - 9 = 0     ⇔     x2 = 9     ⇔     x = ± 3


      Dom(f) = R - {-3 , 3}


3)   Recorrido o imagen:


      Im(f) = (-∞ , 0] ∪ (1 , ∞)


4)   Continuidad:


      La función f no está definida ni en 3, ni en -3.


      Por tanto, f es continua en  R - {-3 , 3}.


5)   Periodicidad:   no es periódica.


6)   Simetrías:


      simetria


      f(-x) = f(x)   , por lo que tiene simetría par.


      f(-x) ≠ -f(x)   , por lo que no tiene simetría impar.


      La función f es simétrica respecto al eje  OY , como además se ve en la gráfica.


7)   Asíntotas:


      Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a acercarse la gráfica de la función.


      Por la gráfica vemos que hay dos asíntotas verticales:     x = -3   ,   x = 3


      Además vemos que hay una asíntota horizontal en:     y = 1


      Podemos calcular las asíntotas verticales, pues son los valores que anulan al denominador:


                  x2 - 9 = 0     ⇔     x2 = 9     ⇔     x = ±√9 = ±3


      Calculamos la asíntota horizontal:  como se trata de una función racional, dividimos cada término por la variable x elevada al mayor exponente.


            limite


8)   Corte con los ejes:


      puntos_de_corte


      El punto de corte con el eje  OY  y con el eje  OX  es el mismo:     (0 , 0)


      Signo de la función:


      •   Positiva en:     (-∞ , -3) ∪ (3 , ∞)


      •   Negativa en:     (-3, 3)


9)   Monotonía:


      •   Creciente en:     (-∞ , -3) ∪ (-3 , 0)


      •   Decreciente en:     (0 , 3) ∪ (3 , ∞)


10)   Máximos y mínimos relativos.


      Tiene un máximo relativo en  (0 , 0).


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


      •   Convexa en:     (-3 , 3)


      •   Cóncava en:     (-∞ , -3) ∪ (3 , ∞)


      No tiene puntos de inflexión.