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Ejercicios de funciones de segundo grado

Representa la siguiente función de segundo grado con todas sus características y halla el vértice y el eje de simetria de la parábola:


y = - 5x2



1)   Tipo de función:   es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Su representación gráfica es una parábola.


2)   Dominio:   como es una función polinómica, Dom(f) = R.


3)   Eje de simetría y vértice de la parábola:


        La función tiene un eje de simetría para   x = - b / 2a .   Es decir,    x = 0 .


        Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 0 .   Por lo tanto el vértice es el punto  V (0, 0) .


4)   Recorrido o imagen:   Im(f) = (- ∞, 0]


        El coeficiente   a   es negativo (a < 0).


5)   Continuidad:   es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.


6)   Simetría:


        f(- x) = -5(- x)2 = - 5x2


        f(-x) = f(x)


        La función f es simétrica par.


7)   Corte con los ejes:


      •   x = 0:       y = 0     ⇒     A = (0 , 0)


       La función pasa por el origen de coordenadas.


8)   Signo:


        Es negativa en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) .


9)   Monotonía:


        Como   a < 0   y el vértice es   V(0, 0) :


      •   Creciente en:   (- ∞, 0) .


      •   Decreciente en:   (0, + ∞) .


10)   Máximos y mínimos relativos:


          Como   a < 0   y el vértice es   V(0 , 0)   este es un máximo.


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


          Como   a < 0  , la función es convexa en todo R.


          No tiene puntos de inflexión porque siempre es convexa..


12)   Acotación:


         Como   V(0, 0)   es un máximo, la función está acotada superiormente por   y = 0


         Observando la gráfica vemos que las cotas inferiores de la función son:   ]0, + ∞).


         De todas las cotas superiores, la más pequeña es  y = 0 , por lo que  sup(f) = 0.


         Como  0 ∈ Im(f) , tenemos que  y = 0  es el máximo absoluto de la función.


         La función  f  no está acotada, ya que sólo está acotada superiormente.



tabla valores



grafica parabola


Representa la siguiente función de segundo grado con todas sus características y halla el vértice y el eje de simetria de la parábola:


y = 2x2 - 8x



1)   Tipo de función:   es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Su representación gráfica es una parábola.


2)   Dominio:   como es una función polinómica, Dom(f) = R.


3)   Eje de simetría y vértice de la parábola:


        La función tiene un eje de simetría para   x = - b / 2a .   Es decir,    x = 2 .


        Para   x = 2   tenemos que   f(2) = - 8 .   Por lo tanto el vértice es el punto  V (2, - 8) .


4)   Recorrido o imagen:   Im(f) = [- 8, + ∞)


        El coeficiente   a   es positivo (a > 0).


5)   Continuidad:   es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.


6)   Simetría:


        f(- x) = 2(- x)2 - 8(- x) = 2x2 + 8x


        f(-x) ≠ f(x)


        La función f no es simétrica.


7)   Corte con los ejes:


      •   x = 0:       y = 0     ⇒     (0 , 0)


      •   y = 0:       2x2 - 8x = 0     ⇒     2x(x - 4) = 0     ⇒    (0 , 0)   y   (4, 0)


8)   Signo:


        Como   a > 0   es positiva en   (- ∞, 0) ∪ (4, + ∞)   y   negativa en   (0, 4)


9)   Monotonía:


        Como   a > 0   y el vértice es   V(2, - 8) :


      •   Decreciente en:   (- ∞, 2) .


      •   Creciente en:   (2, + ∞) .


10)   Máximos y mínimos relativos:


          Como   a > 0   y el vértice es   V(2 , - 8)   este es un mínimo.


11)   Curvatura y puntos de inflexión:


          Como   a > 0  , la función es concava en todo R.


          No tiene puntos de inflexión porque siempre es concava.


12)   Acotación:


         Como   V(2, - 8)   es un mínimo, la función está acotada infeiormente por   y = - 8


         Observando la gráfica vemos que las cotas inferiores de la función son:   (-∞ , - 8].


         De todas las cotas inferiores, la más grande es  y = - 8 , por lo que  inf(f) = - 8.


         Como  - 8 ∈ Im(f) , tenemos que  y = - 8 es el mínimo absoluto de la función.


         La función  f  no está acotada, ya que sólo está acotada inferiormente.



tabla valores



grafica parabola


Representa la siguiente función de segundo grado con todas sus características y halla el vértice y el eje de simetria de la parábola:


y = - x2+ 4x + 21



1)   Tipo de función:   es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Su representación gráfica es una parábola.


2)   Dominio:   como es una función polinómica, Dom(f) = R.


3)   Eje de simetría y vértice de la parábola:


        La función tiene un eje de simetría para   x = - b / 2a .   Es decir,    x = 2 .


        Para   x = 2   tenemos que   f(4) = 25 .   Por lo tanto el vértice es el punto  V (4, 25) .


3)   Recorrido o imagen:   Im(f) = (- ∞, 25]


        El coeficiente   a   es negativo (a < 0).


4)   Continuidad:   es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.


5)   Simetría:


        f(- x) = - x2 + 4(- x) + 21 = - x2 - 4x + 21


        f(-x) ≠ f(x)


        La función f no es simétrica.


8)   Corte con los ejes:


      •   x = 0:       y = 21     ⇒     (0 , 21)


      •   y = 0:       - x2 + 4x + 21 = 0    


           ecuacion 2 grado


        Por lo tanto, los puntos de corte con el eje Y son:   (- 3, 0)   y   (7, 0)


9)   Signo:


        Como   a < 0   es positiva en   (- 3, 7)   y negativa en   (- ∞, - 3) ∪ (7, + ∞)  


10)   Monotonía:


        Como   a < 0   y el vértice es   V(2, 25) :


      •   Creciente en:   (- ∞, 2) .


      •   Decreciente en:   (2, + ∞) .


11)   Máximos y mínimos relativos:


          Como   a < 0   y el vértice es   V(2 , 25)   este es un máximo.


12)   Curvatura y puntos de inflexión:


          Como   a < 0  , la función es convexa en todo R.


          No tiene puntos de inflexión porque siempre es convexa.


13)   Acotación:


          Como   V(2, 25)   es un máximo, la función está acotada superiormente por   y = 25


         Observando la gráfica vemos que las cotas superiores de la función son:   [25, +∞) .


         De todas las cotas superiores, la más pequeña es  y = 25 , por lo que  sup(f) = 25.


         Como  25 ∈ Im(f) , tenemos que  y = 25 es el máximo absoluto de la función.


         La función  f  no está acotada, ya que sólo está acotada superiormente.



tabla valores



grafica parabola


Halla la fórmula de la siguiente parábola:


grafica parabola



Buscamos una función de la forma   y = ax2 + bx + c


En la gráfica se observan los siguientes puntos de corte:


•   La gráfica corta al eje Y en el punto   (0, 9)


Por lo tanto tenemos que   f(0) = 9   ⇒   c = 9


•   La gráfica corta al eje X en los puntos:   (- 3, 0)   y   (3, 0)


0 = a(- 3)2 + b(- 3) + 9     ⇒     0 = 9a - 3b + 9


0 = a(3)2 + b(3) + 9           ⇒     0 = 9a + 3b + 9


Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.


Por el método de reducción, sumando ambas ecuaciones, tenemos que:


0 = 18a + 18


18a = - 18


a = - 1


Sustituyendo el valor de   a   tenemos que:


0 = - 9 + 3b + 9


0 = 3b


b = 0


La función de la gráfica es:


y = - x2 + 9




Otra forma de llegar a la solución sería:


El eje de simetría de la parábola es la redta   x = 0 .


Por lo tanto tenemos que   x = - b / 2a = 0   ⇒   b = 0


Además, la gráfica pasa por el punto   (0, 9) .


Es decir,   f(0) = 9   ⇒   9 = c


La gráfica también pasa por el punto   (3, 0) .


f(3) = a(3)2 + 9 = 9a + 9 = 0   ⇒   9a = - 9   ⇒   a = - 1


Halla la fórmula de la siguiente parábola:


grafica parabola



Buscamos una función de la forma   y = ax2 + bx + c


En la gráfica se observan los siguientes puntos de corte:


•   La gráfica corta al eje Y en el punto   (0, - 2)


Por lo tanto tenemos que   f(0) = - 2   ⇒   c = - 2


Además, la gráfica pasa por los puntos:   (1, 1)   y   (2, - 2)


1 = a(1)2 + b(1) - 2     ⇒     1 = a + b - 2


- 2 = a(2)2 + b(2) - 2           ⇒     - 2 = 4a + 2b - 2   ⇒   1 = - 2a - b + 1


Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.


Por el método de reducción, sumando ambas ecuaciones, tenemos que:


2 = - a - 1


a = - 3


Sustituyendo el valor de   a   tenemos que:


1 = - 3 + b - 2


1 = - 5 + b


b = 6


La función de la gráfica es:


y = - 3x2 + 6x + - 2




Otra forma de llegar a la solución sería:


El eje de simetría de la parábola es la recta   x = 1 .


Por lo tanto tenemos que   x = - b / 2a = 1