INICIODivisibilidad de polinomios
Múltiplos y divisores
Un polinomio D(x) es divisor de otro polinomio P(x) si la división P(x) : D(x) es exacta.
En ese caso, decimos que P(x) es un multiplo de D(x) , puesto que P(x) = D(x) · Q(x).
D(x) = x3 + x2 - 9x - 9 es divisor de P(x) = x4 - 10x2 + 9 y por tanto, P(x) es multiplo de D(x) , porque:
P(x) = x4 - 10x2 + 9 = (x3 + x2 - 9x - 9) (x - 1) = D(x) · Q(x)
Polinomios irreducibles
Un polinomio se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior al suyo es divisor de él.
1) P(x) = x2 + 2, es irreducible.
2) Q(x) = 3x + 15, es irreducible aunque sea divisible por x + 5 , ya que son del mismo grado.
3) R(x) = x2 - 3x - 4, no es irreducible ya que es igual a (x + 1) · (x - 4)
Los polinomios irreducibles son similares a los números primos en la divisibilidad numérica.
Máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común multiplo (m.c.m.) de polinomios
El máximo común divisor (M.C.D.) de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor común de todos ellos.
Para hallar el M.C.D. de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes elevados a la menor potencia.
El mínimo común multiplo (m.c.m.) de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos.
Para hallar el m.c.m. de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.
Ejemplo 1: Halla el M.C.D. y m.c.m. delos siguientes polinomios
P(x) = x6 - x2
Q(x) = x3 - x2 + x - 1
En primer lugar sacamos factor común de P(x).
P(x) = x2 (x4 - 1)
A continuación aplicamos la regla de Ruffini.
P(x) = x2 (x - 1) (x + 1) (x2 + 1), donde (x2 + 1) es irreducible.
Aplicamos también la regla de Ruffini para el polinomio Q(x).
Q(x) = (x - 1) (x2 + 1)
De esta forma tenemos que:
M.C.D. ( P(x) , Q(x) ) = (x - 1) (x2 + 1)
m.c.m. ( P(x) , Q(x) ) = (x - 1) (x + 1) (x2 + 1)
Ejemplo 2: Hallar el M.C.D. y m.c.m. de los siguientes polinomios:
P(x) = x3 (x - 1)3 (x - 3)2
Q(x) = x2 (x + 1)2 (x - 1)2
Aplicando las definiciónes:
M.C.D. ( P(x) , Q(x) ) = x2 (x - 1)2
m.c.m. ( P(x) , Q(x) ) = x3 (x - 1)3 (x + 1)2 (x - 3)2
