Ejercicios resueltos de factorización de polinomios
- 1. Raíces enteras
- 2. Descomposición
- 3. Factorización I
- 4. II
- 5. Irreducibles
- 6. M.C.D. y m.c.m.
- Fórmulas
Hallar las raíces enteras de los siguientes polinomios:
1) x3 + 2x2 - x - 2
Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio: ±1 y ±2.
P(1) = 13 + 2·12 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0
P(-1) = (-1)3 + 2·(-1)2 -(-1) - 2 = -1 + 2 + 1 - 2 = 0
P(2) = 23 + 2·22 - 2 - 2 = 8 + 8 - 2 - 2 = 12
P(-2) = (-2)3 + 2·(-2)2 - (- 2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0
Por lo tanto, las raíces enteras del polinomio son + 1 , - 1 y - 2.
2) x3 + 3x2 - 4x - 12
Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio: ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 y ±12.
P(2) = 23 + 3·22 - 4·2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0
P(-2) = (-2)3 + 3·(-2)2 - 4·(-2) - 12 = -8 + 12 + 8 - 12 = 0
P(-3) = (-3)3 + 3·(-3)2 - 4·(-3) - 12 = -27 + 27 + 12 - 12 = 0
Por lo tanto, las raíces enteras del polinomio son + 2 , - 2 y - 3.
3) x5 + x4 - 16x - 16
Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio: ±1 , ±2 , ±4 , ±8 y ±16.
P(-1) = (-1)5 + (-1)4 - 16·(-1) - 16 = -1 + 1 + 16 - 16 = 0
P(2) = 25 + 24 - 16·2 - 16 = 32 + 16 - 32 - 16 = 0
P(-2) = (-2)5 + (-2)4 - 16·(-2) - 16 = -32 + 16 + 32 - 16 = 0
Por lo tanto, las raíces enteras del polinomio son - 1 , + 2 y - 2.
4) x4 - x3 + 4x2 - 256
Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término independiente del polinomio: ±1 , ±2 , ±4 , ±8 , ±16 , ±32 , ±64 , ±128 y ±256.
P(4) = 44 - 43 + 4·42 - 256 = 256 - 64 + 64 - 256 = 0
Por lo tanto la única raíz es 4.
Hallar un polinomio cuyas raíces sean 0 , 1 , - 2 y 3
P(x) = x (x - 1) (x + 2) (x + 3) = (x2 - x) (x2 + 5x + 6) = x4 + 5x3 + 6x2 - x3 - 5x2 - 6x = x4 + 4x3 + x2 - 6x
Descomponer las siguientes expresiones notables en productos de dos o más factores:
1) x2 + 2x + 1
x2 + 2x + 1 = (x + 1) (x + 1)
Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
2) x2 - 6x + 9
x2 - 6x + 9 = (x - 3) (x - 3)
Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
4) x4 + 16x2 + 64
x4 + 16x2 + 64 = (x2)2 + 2·8x2 + (82) = (x2 + 8)2
Trinomio cuadrado perfecto de la expresión notable: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
5) x2 - 16
x2 - 16 = (x + 4) (x - 4)
Diferencia de cuadrados de la expresión notable: x2 - y2 = (x + y) (x - y)
6) 16x2 - 9y2
16x2 - 9y2 = (4x)2 - (3y)2 = (4x + 3y) (4x - 3y)
Diferencia de cuadrados de la expresión notable: x2 - y2 = (x + y) (x - y)
7) x16 - y16
x16 - y16 = (x8)2 - (y8)2 = (x8 + y8)(x8 - y8)
Diferencia de cuadrados de la expresión notable: x2 - y2 = (x + y) (x - y)
8) x3 + 6x2 + 12x + 8
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
Expresión notable de: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
9) x3 - 3x2 + 3x - 1
x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x - 1)3
Expresión notable de: (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
10) 8x3 + 1
8x3 + 1 = (2x)3 + 13 = (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
Expresión notable de: x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
11) x3 - 27
x3 - 27 = x3 - 33 = (x - 3)(x2 + 3x + 9)
Expresión notable de: x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
Factoriza los siguientes trinomios:
1) x2 - x - 2
Por lo tanto se trata de un polinomio irreducible.
Al tratarse de una ecuación de segundo grado podemos resolver directamente la ecuación, aplicar la regla de Ruffini o en último lugar, aplicar el teorema del resto.
En primer lugar realizamos la factorización resolviendo la ecuación de segundo grado:
x2 - x - 2 , donde a = 1 , b = -1 y c = -2
Por lo tanto, la ecuación se anula para x1 = 2 y para x2 = - 1.
El trinomio es una ecuación de segundo grado la cual se descompone de la siguiente manera:
ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)
Es decir: x2 - x - 2 = (x - 2) (x + 1)
También podemos llegar al mismo resultado si aplicamos la regla de Ruffini:
Es decir: x2 - x - 2 = (x + 1) (x - 2)
2) 42 - x - x2
Realizamos la factorización resolviendo la ecuación de segundo grado:
Las raíces son x1 = 6 y x2 = - 7.
El trinomio es una ecuación de segundo grado la cual se descompone de la siguiente manera:
ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)
42 - x - x2 = - (x - 6) (x + 7) = (6 - x) (x + 7)
3) 3x2 + 10x + 3
Resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular las raíces:
El trinomio es una ecuación de segundo grado la cual se descompone de la siguiente manera:
ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)
Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios:
1) x3 - x2 - x + 1
Aplicamos la regla de Ruffini para los divisores de 1, es decir, ±1.
Por lo tanto: x3 - x2 - x + 1 = (x - 1) (x - 1) (x + 1) = (x - 1)2 (x + 1)
2) x3 + 2x2 + 2x + 1
Aplicamos la regla de Ruffini para los divisores de 1, es decir, ±1.
Por lo tanto: x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1) (x2 + x + 1)
Si intentamos resolver la ecuación de segundo grado x2 + x + 1 = 0 ocurre lo siguiente:
Es decir, el discriminante es negativo, por lo que las raíces son imaginarias y no podemos descomponer dicho polinomio.
3) x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4
En este caso aplicamos la regla de Ruffini para los divisores de 4.
Es decir: x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4 = (x - 1) (x - 1) (x + 2) (x + 2) = (x - 1)2 (x + 2)2
4) x4 - 6x3 - 11x2 + 96x - 80
Volvemos a utilizar la regla de Ruffini.
Por lo tanto: x4 - 6x3 - 11x2 + 96x - 80 = (x - 1) (x - 4) (x + 4) (x - 5)
5) 6x3 + 7x2 - 9x + 2
Comenzamos aplicando la regla de Ruffini con los divisores del término independiente.
Es decir: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = (x + 2) (6x2 - 5x + 1)
Llegados a este punto no podemos continuar aplicando la regla de Ruffini ya que no es divisible entre ±1.
A continuación buscamos las raíces del polinomio: 6x2 - 5x + 1
Finalmente, el polinomio inicial se descompone de la siguiente manera:
Demuestra que los siguientes polinomios son irreducibles:
1) x2 + 6
Si intentamos resolver la ecuación de segundo grado x2 + 6 = 0 obtenemos que:
Es decir, no tiene soluciones reales, por lo tanto el polinomio inicial es irreducible.
2) 3x2 + 3x + 3
3x2 + 3x + 3 = 3(x2 + x + 1)
Si intentamos resolver la ecuación de segundo grado x2 + x + 1 = 0 ocurre lo siguiente:
Es decir, el discriminante es negativo, por lo que las raíces son imaginarias y no podemos descomponer dicho polinomio.
Este polinomio sería reducible si tuviera un factor de grado 1 o mayor. En este caso el único factor real es de grado 0.
Por lo tanto se trata de un polinomio irreducible.
3) x4 + 1
Este polinomio nunca se anula puesto que x4 + 1 > 0 para cualquier valor de x.
Por lo tanto no posee raíces reales y se trata de un polinomio irreducible.
4) x2 - x + 1
Al intentar resolver la ecuación de segundo grado x2 - x + 1 = 0 ocurre lo siguiente:
Por lo tanto, al igual que ocurre en el apartado 2, este polinomio es irreducible.
Halla el máximo común divisor y el mínimo común multiplo de los siguientes polinomios:
1) P(x) = x4 - 5x3 + 5x2 + 5x - 6 y Q(x) = x6 - 4x5 + 3x4 + 4x3 - 5x2 + 1
En primer lugar factorizamos el polinomio P(x) aplicando para ello la regla de Ruffini.
Por lo tanto, el polinomio P(x) se descompone de la siguiente forma:
P(x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x - 3)
A continuación descomponemos en factores el polinomio Q(x) aplicando también la regla de Ruffini:
En el último paso al aplicar la regla de Ruffini, el polinomio no es divisible ni por + 1 ni por - 1.
Por lo tanto resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 - 2x - 1 = 0
Finalmente, el polinomio Q(x) se descompone de la siguiente forma:
Q(x) = (x - 1)3 (x + 1) (x - 1 - √2) (x - 1 + √2)
Una vez descompuestos factorialmente ambos polinomios podemos calcular el M.C.D. y el m.c.m.:
M.C.D. son los factores comunes de menor exponente.
M.C.D. [ P(x) , Q(x) ] = (x - 1) (x + 1) = (x2 - 1)
m.c.m. son los factores comunes y no comunes de mayor exponente.
m.c.m. [ P(x) , Q(x) ] = (x - 1)3 (x + 1) (x - 2) (x - 3) (x - 1 - √2) (x - 1 + √2)
2) P(x) = x6 - x2 y Q(x) = x4 - x3 + x2 - x
El polinomio P(x) lo podemos descomponer sacando factor común y aplicando la igualdad notable diferencia de cuadrados igual a suma por diferencia:
P(x) = x2 (x4 - 1) = x2 [(x2)2 - 12] = x2 (x2 - 1) (x2 + 1) = x2 (x + 1) (x - 1) (x2 + 1)
Donde el factor x2 + 1 es irreductible puesto que no se anula para ningún valor real de x.
Para descomponer en factores Q(x) sacamos factor común y despues aplicamos la regla de Ruffini.
Q(x) = x (x3 - x2 + x - 1)
Por lo tanto, el polinomio Q(x) se descompone de la siguiente forma:
Q(x) = x (x - 1) (x2 + 1)
Al igual que ocurriese anteriormente, el polinomio x2 + 1 es irreducible.
Una vez descompuestos factorialmente ambos polinomios, calculamos el M.C.D. y el m.c.m.:
M.C.D. [ P(x) , Q(x) ] = x (x - 1) (x2 + 1)
m.c.m. [ P(x) , Q(x) ] = x2 (x + 1) (x - 1) (x2 + 1)
Tabla de fórmulas de factorización:
Diferencia de cuadrados | a2 - b2 = (a + b) (a - b) |
---|---|
Trinomio cuadrado perfecto: desarrollo binomio positivo al cuadrado |
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 |
Trinomio cuadrado perfecto: desarrollo binomio negativo al cuadrado | a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 |
Suma de cubos | a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) |
Diferencia de cubos | a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) |
desarrollo binomio positivo al cubo | a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 |
desarrollo binomio negativo al cubo | a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 |