Descomposición de una fracción racional en fracciones simples

Cuando el denominador de una fracción algebráica puede descomponerse en factores, la fracción se puede escribir como suma o diferencia de otras fracciones más sencillas.

Este proceso se conoce como descomposición en fracciones simples.

1) El denominador es un polinomio de segundo grado con dos raíces reales simples

ax² + bx + c = 0

Tiene dos raíces reales distintas   x = x₁   y   x = x₂

La descomposición es la siguiente:

Los valores   A   y   B   se determinan por el método de identificación de coeficientes.

Ejemplo de descomposición en fracciones simples:

Como las soluciones de   x² - 5x + 6 = 0   son   x₁ = 3   y   x₂ = 2 , la descomposición que se hace es la siguiente:

La fracción dada y la obtenida al sumar las dos fracciones simples son iguales. Como sus denominadores son iguales, también deben serlo sus numeradores. Por lo tanto:

3x - 1 = A(x - 2) + B(x - 3)

Para    x = 2   tenemos que:    6 - 1 = - B    ⇒    B = - 5

Para    x = 3   tenemos que:    9 - 1 = A      ⇒    A = 8

Por lo tanto la descomposición queda de la siguiente manera:

Otra forma de realizar la descomposición es a partir de la identificación de coeficientes

3x - 1 = A(x - 2) + B(x - 3)

3x - 1 = Ax - 2A + Bx - 3B

3x - 1 = (A + B)x - (2A + 3B)

2) El denominador es un polinomio de segundo grado con una raíz real doble

ax² + bx + c = 0

Tiene una raíz real doble   x = x₁

La descomposición es la siguiente:

3) El denominador tiene factores lineales de la forma   x - a

Q(x) = (x - a₁) · (x - a₂) · (x - a₃) ·  ...  · (x - a_n)

Tiene   n   raíces reales   x = a₁ ,   x = a₂ ,   x = a₃   ...   x = a_n

4) El denominador es un polinomio de la forma (ax + b)ⁿ

Q(x) = (ax + b)ⁿ

Tiene   n   raíces iguales   x = - b/a

5) El denominador tiene un factor cuadrático irreducible de la forma   ax² + bx + c

Q(x) = ax² + bx + c     irreducible, es decir, no se puede descomponer en dos factores lineales, ya que las raíces son imaginarias.

Por tanto   b² - 4ac < 0   ,    siendo   a ,   b   y   c   números reales donde   a ≠ 0

6) El denominador es un polinomio de la forma (ax² + bx + c)ⁿ

Q(x) = (ax² + bx + c)ⁿ     donde     ax² + bx + c     es irreducible, es decir, no se puede descomponer en factores lineales

Por tanto   b² - 4ac < 0   ,    siendo   a ,   b   y   c   números reales donde   a ≠ 0