Ejercicios resueltos de descomposición de una fracción racional en fracciones simples

Primero factorizamos el denominador:

Es decir, el denominador se factoriza de la siguiente manera:

x² - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2)

Aplicando la fórmula de la descomposición, tenemos que:

Desarrollando el segundo término de la ecuación obtenemos que:

Igualando numeradores tenemos que:

x = A(x - 3) + B(x - 2)

Resolvemos sustituyendo    x   por los valores que anulen los denominadores de las fracciones:

Para   x = 3   tenemos que:   3 = B

Para   x = 2   tenemos que:   2 = - A

Por lo tanto la solución es:

También se puede utilizar el método de identificación de coeficientes de igual potencia:

x = A(x - 3) + B(x - 2)

x = Ax - 3A + Bx - 2B

x = (A + B)x + (- 3A - 2B)

Los valores   A   y   B    se determinan por el método de identificación de coeficientes:

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y utilizamos el método de reducción:

Por lo tanto tenemos que:

B = 3

Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:

1 = A + 3     ⇒     A = - 2

Primero factorizamos el denominador:

Es decir, el denominador tiene una raíz real doble, por tanto la descomposición es de la forma:

Desarrollando el segundo término de la ecuación obtenemos que:

Igualando numeradores tenemos que:

x = A + B(x + 1)

Resolvemos sustituyendo    x   por el valor que anula a los denominadores de las fracciones y usando un valor arbitrario para    x :

Para     x = - 1    tenemos que:     - 1 = A

Para     x = 0    tenemos que:     0 = - 1+ B    ⇒    B = 1

También se puede utilizar el método de identificación de coeficientes de igual potencia:

x = A + B(x + 1)

x = A + Bx + B

x = Bx + (A + B)

El denominador posee una raíz real triple, por lo tanto:

Desarrollando el segundo término obtenemos que:

Igualando los numeradores tenemos que:

x² - 3x + 2 = A(x - 5)² + B(x - 5) + C

Resolvemos sustituyendo    x   por el valor que anula al denominador y usando valores arbitrarios para    x :

Para   x = 5   tenemos que:

25 - 15 + 2 = C

C = 12

Para   x = 0   tenemos que:

2 = 25A - 5B + 12    

Para   x = 1   tenemos que:

1 - 3 + 2 = 16A - 4B + 12    ⇒    0 = 16A - 4B + 12

Por lo tanto tenemos el siguiente sistema:

Por tanto la solución es:

También se puede utilizar el método de identificación de coeficientes de igual potencia:

Para   x = 5   tenemos que:

25 - 15 + 2 = C

Sustituyendo el valor de   C   obtenemos:

x² - 3x + 2 = A(x - 5)² + B(x - 5) + 12

x² - 3x + 2 = A(x² - 10x + 25) + B(x - 5) + 12

x² - 3x + 2 = Ax² - 10Ax + 25A + Bx - 5B + 12

x² - 3x + 2 = Ax² - (10A - B)x + (25A - 5B + 12)

Los valores   A   y   B    se determinan por el método de identificación de coeficientes:

Descomponemos en factores el denominador:

Aplicamos la regla de Ruffini sabiendo que el valor 1 anula al denominador:

Es decir, el denominador se descompone de la siguiente forma:

x³ - 1 = (x - 1) (x² + x + 1)

Por lo tanto podemos tenemos que:

Desarrollando el segundo término obtenemos que:

Igualando los numeradores tenemos que:

3x - 5 = A(x² + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)

Para   x = 1   tenemos que:

- 2 = A(1 + 1 + 1)   ⇒   - 2 = 3A

A = - 2/3

Utilizamos el valor de   A   en la ecuación anterior y simplificamos:

Quitando denominadores tenemos que:

3(3x - 5) = - 2(x² + x + 1) + 3(Bx + C)(x - 1)

9x - 15 = - 2x² - 2x - 2 + 3(Bx + C)(x - 1)

2x² + 11x - 13 = 3(Bx + C)(x - 1)

2x² + 11x - 13 = 3Bx² - 3Bx + 3Cx - 3C

2x² + 11x - 13 = 3Bx² + (3B - 3C)x - 3C

Los valores   B   y   C    se determinan por el método de identificación de coeficientes:

Por lo tanto tenemos que:

El denominador posee una raíz real doble   x = 2   y una raíz real simple   x = 1 , por lo tanto se descompone de la siguiente manera:

Desarrollando el segundo término tenemos que:

Igualando numeradores obtenemos lo siguiente:

x + 2 = A(x - 1) + B(x - 2)(x - 1) + C(x - 2)²

Para   x = 1   tenemos que:

3 = C·(- 1)²

C = 3

Para   x = 2   tenemos que:

4 = A·1

A = 4

Por lo tanto, sustituyendo los valores de   A   y   C   obtenemos:

x + 2 = 4(x - 1) + B(x - 2)(x - 1) + 3(x - 2)²

x + 2 = 4x - 4 + B(x² - x - 2x + 2) + 3(x² - 4x + 4)

x + 2 = 4x - 4 + Bx² - 3Bx + 2B + 3x² - 12x + 12

x + 2 = Bx² + 3x² - 3Bx - 8x + 2B + 8

x + 2 = (B + 3)x² + (- 3B - 8)x + (2B + 8)

El valor de   C    se determina por el método de identificación de coeficientes:

Por tanto la solución es:

El denominador tiene una raíz real simple y dos raíces no reales.

Desarrollando el segundo término tenemos que:

Igualando numeradores obtenemos lo siguiente:

x² + 1 = A(x² + 2)² + (Mx + N)(x - 1)(x² + 2) + (Sx + T)(x - 1)

x² + 1 = A(x⁴ + 4x² + 4) + (Mx + N)(x³ + 2x - x² - 2) + (Sx + T)(x - 1)

x² + 1 = Ax⁴ + 4Ax² + 4A + Mx⁴ + 2Mx² - Mx³ - 2Mx + Nx³ + 2Nx - Nx² - 2N + Sx² - Sx + Tx - T

x² + 1 = (A + M)x⁴ + (N - M)x³ + (4A + 2M - N + S)x² + (- 2M + 2N - S + T)x + (4A - 2N - T)

Los valores de     A ,   M ,   N ,   S   y   T   se determinan por el método de identificación de coeficientes:

Aplicando el método de reducción tenemos que:

Por lo tanto obtenemos que:

M = - 2/9     N = - 2/9     A = 2/9     S = 1/3     T = 1/3

Es decir, la solución es: