INICIOPotencia de un polinomio:
Cuadrados y cubos
Igualdades notables
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero mas o menos el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.
(3x + y)2 = 9x2 + 2 (3x)y + y2 = 9x2 + 6xy + y2
(5 - xy)2 = 25 - 2 · 5 xy + (xy)2 = 25 - 10xy + (xy)2
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(3 - xy) (3 + xy) = 9 - (xy)2
El cubo de un binomio es igual al cubo del primero más o menos el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por cuadrado del segundo más o menos el cubo del segundo
(2x + 3y)3 = (2x)3 + 3(2x)23y + 3(2x)(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 9y3
(xy - 1)3 = (xy)3 - 3(xy)2(1) + 3(xy)(1)2 - (1)3 = x3y3 - 3x2y2 + 3xy - 1
Suma de dos cubos:
8 + x3 = 23 + x3 = (2 + x)(22 - 2x + x2) = (2 + x)(4 - 2x + x2)
Diferencia de dos cubos:
x3y3 - 27 = (xy)3 - 33 = (xy - 3)[(xy)2 + 3xy + 9] = (xy - 3)(x2y2 + 3xy + 9)
Cuadrado de un polinomio
El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos más los dobles productos de las combinaciones entre ellos.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
El cuadrado de un cuatrinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos más los dobles productos de las combinaciones entre ellos.
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
(a + b + c + d)2 = [(a + b) + (c + d)]2 = (a + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Ejemplo de cuadrado de un polinomio:
(x2 + y - 3z)2 = [(x2 + y) - 3z]2 = (x2 + y)2 - 2(x2 + y)3z + (3z)2 = x4 + 2x2y + y4 - 2x23z - 2y3z + 9z2 = x4 + y4 + 9z2 + 2x2y - 6x2z - 6yz
Cubo de un Trinomio
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2 + 3c2a + 3c2b + 6abc
(a + b + c)3 = [(a + b) + c]3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3(a2 + 2ab + b2)c + 3(a + b)c2 + c3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2 + 3c2a + 3c2b + 6abc
Ejemplo de cubo de un trinomio:
(1 + 3x - 5x2)3 = [(1 + 3x) - 5x2]3 = (1 + 3x)3 - 3(1 + 3x)2(5x2) + 3(1 + 3x)[(5x2)]2 - (5x2)3 = 13 + 3(3x) + 3(3x)2 + (3x)3 -15x2(1 + 6x + 9x2) + 75x4(1 + 3x) - 125x6 = 1 + 9x + 27x2 + 27x3 - 15x2 - 90x3 - 135x4 + 75x4 + 225x5 - 125x6 = -125x6 + 225x5 - 60x4 - 63x3 +12x2 + 9x + 1
