Derivadas laterales

Derivabilidad y continuidad en un punto

Derivabilidad y continuidad en un intervalo

Casos en que una función es continua y no es derivable

Ejemplo de una gráfica con un punto angular:

Sea la función   f(x) = | x - 3 |

Calculamos los límites laterales en el punto   x = 3 :

Como los límites laterales (derivada por la izquierda y derivada por la derecha no son iguales, la función   f(x)   no es derivable en   x = 3   y la gráfica de    f(x)   no tiene tangente en el punto   (3, 0) .

Ejemplo de una gráfica con una recta tangente vertical:

f(x)   es continua en   x = 0 . Sin embargo, al calcular el límite cuando   x   tiende a   0 , obtenemos:

El límite de la función   f(x)   cuando   x   tiende a   0   es infinito, luego la recta tangente en    x = 0   es vertical. Es decir, la función   f(x)   no es derivable en   x = 0 .

Ejemplo de una función a trozos continua y no derivable:

Dada la siguiente función:

1) Comprobar que es continua en   x = 1   pero no derivable.

2) Da un ejemplo de función que sea derivable y no sea continua.

1) La función será continua si y solo si se cumple que:

Como   f(1) = 1 , tenemos que hallar los límites laterales:

Hemos demostrado que:

Por lo tanto la función es continua en el punto   x = 1 .

Para comprobar que la función no es derivable en   x = 1, hay que demostrar que no existe el siguiente límite:

Para ello basta con probar que los límites laterales son distintos:

Como los límites laterales en   x = 1   son distintos, la función no es derivable en dicho punto.

2) No es posible encontrar un ejemplo puesto que todas las funciones derivables son continuas.

Conclusión entre derivabilidad y continuidad:

Según los dos ejemplos anteriores una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Esto ocurre en los puntos angulosos o angulares y en los puntos cuya tangente es una recta vertical (perpendicular al eje X).