Estudio de la derivabilidad de una función

Para estudiar la derivabilidad de la función en un punto, primero tenemos que ver si es continua en dicho punto.

Para que f sea continua en  x = 0 ,  sus límites laterales tienen que coincidir:

f(0) = e⁰ - 1 = 1 - 1 = 0

Luego f es continua en x = 0.

Tanto si   x < 0 ,  como si  x > 0 ,  la función  f  es derivable en dichos intervalos, y su derivada en cada caso es:

Veamos si   f   es derivable en   x = 0   calculando sus derivadas laterales:

Luego la función   f   es derivable en   x = 0 , y la derivada en dicho punto vale:   f '(0) = 1

Para estudiar la derivabilidad de la función en un punto, primero tenemos que ver si es continua en dicho punto.

Para que f sea continua en  x = 1 ,  sus límites laterales tienen que coincidir:

f(1) = Ln 1 = 0

Luego  f  es continua en  x = 1 .

Veamos si es derivable:

Como   f '(1^- ) ≠ f '(1⁺ )   , la función   f   no es derivable en  x = 1 .

Continuidad:

Para   x ≠ 0   la función  f   es continua por ser el producto de funciones continuas.

Para ver si es continua en   x = 0   estudiamos el límite:

  f(0) = 0

Observamos que la función   sen(1/x)  está acotada:     -1 ≤ sen (1/x) ≤ 1     ⇔     |sen(1/x)| ≤ 1

Por tanto:

La función f es continua en todo R .

Derivabilidad:

Para  x ≠ 0  la función  f  es derivale por ser producto de dos funciones derivables.

Para ver si es derivable en  x = 0   estudiamos el límite:

Al igual que antes, se ha tenido en cuenta que la función seno es una función acotada.

Como el límite existe y coincide con f ' (0) = 0, tenemos que la función es derivable en x = 0.

Por tanto, la función es derivable en todo  R ,  siendo:

a)   Calcula las constantes  a  y  b .

Si la función es derivable en el intervalo (0 , 5), en particular lo es en el punto de abscisa x = 2. Además, como f es derivable en x = 2 , necesariamente es continua en dicho punto.

Imponiendo las condiciones de derivabilidad y continuidad de f en x = 2 obtenemos que:

f continua en x = 2:

f es derivable en x = 2:

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones obtenemos los valores de  a  y  b :

                        a = - 7/2    ,    b = 1

b)   Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de  f  en el punto de abscisa  x = 2 .

La ecuación de la recta tangente es:

            y - f(2) = f '(2)(x - 2)

Calculamos  f(2)  y  f '(2) :

Si    x = 2     ⇒    f(2) = - 3

f '(2) = 1/2

Luego:

            y - (-3) = 1/2(x - 2)      ⇒      y + 3 = x/2 - 1      ⇒      y = x/2 - 4

Si   x < 2 , la función f está definida como una función polinómica, por tanto, es continua y además derivable en dicho intervalo.

Si   2 < x < 0 , la función está definida como un polinomio, por lo que también es continua y derivable en éste intervalo.

Si   x > 0 , tenemos que f(x) = a cos x, que también es continua y derivable en dicho intervalo.

Veamos ahora la continuidad y derivabilidad de  f  en los puntos de unión de dichas ramas:
x = - 2    ,    x = 0

Continuidad:

f(-2) = (-2)² + 6(-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0

Como los límites laterales coinciden, la función es continua en  x = -2  para cualquier valor de  a .

f(0) = 2·0 + 4 = 4

Para que la función sea continua en x = 4 , los límites laterales en dicho punto tienen que coincidir.

Por tanto, si   a = 4  la función sí es continua en  x = 4 .

Derivabilidad:

Calculamos las derivadas laterales en cada caso:    x = -2   ,   x = 0

Como   f(-2^- ) = f(-2⁺ ) ,   la función es derivable en  x = 2  para cualquier valor de   a .

Como   f(0^- ) ≠ f(0⁺ )  , la función no es derivable en x = 0 , para ningún valor de  a .

Conclusión:

•   Si   a = 4 , la función es continua en todo  R , y si  a ≠ 4 ,  la función es continua en R - {0} .

•   La función   f  es derivable en   R - {0} ,  para todo valor de  a .

Hacemos un dibujo aproximado de su gráfica para   a = 4 :

Si   x < 0   ó si   x > π , la función  f  está definida como funciones polinómicas, por tanto, es continua y además derivable en dichos intervalos.

Si   0 < x < π , la función  f  está definida como suma de una función polinómica y una trigonométrica (ambas continuas y derivables), por tanto,  f  es continua y además derivable en dicho intervalo.

Veamos ahora la continuidad y derivabilidad de  f  en los puntos de unión de dichas ramas:
x = 0    ,    x = π

Continuidad:

f(0) = 0 + 2a·1 = 2a

Para que la función sea continua en x = 0 , los límites laterales en dicho punto tienen que coincidir.

f(π) = aπ² + b

Para que la función sea continua en x = π , los límites laterales en dicho punto tienen que coincidir.

Como   a = 1 ,   podemos obtener el valor de b de la segunda ecuación:

π² - 2a = aπ² + b      ⇒      π² - 2 = π² + b      ⇒      b = - 2

Luego si   a = 1   y   b = - 2 ,   la función es continua para todo valor de x .

Derivabilidad:

Teniendo en cuenta que  a = 1  y  b = -2 ,  tenemos:

Calculamos las derivadas laterales en cada caso:      x = 0   ,   x = π

Como  f(0^- ) = f(0⁺ )  , la función es derivable en x = 0 .

Como  f(π^- ) = f(π⁺ )  , la función es derivable en x = π .

Conclusión:

•   Si  a = 1  y  b = - 2 , la función es continua para todo x .

•   Si  a = 1  y  b = - 2 , la función es derivable para todo x .

a)   Obtener   c   para que   f   sea continua en  x = 0 .

Para que  f  sea continua en  x = 0  los límites laterales tienen que coincidir con   f(0) :

f(0) = 0 + 0 + c = c

Para resolver la indeterminación  0/0  hemos aplicado la regla del l'Hôpital.

Por tanto:      c = 1

b)   Obenter   b   para que   f   sea derivable en  x = 0 .

Para que f sea derivable en x = 0 , las derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir.

Si x ≤ 0 :      f(x) = x² + bx + c      ⇒      f '(x) = 2x + b
                                                               f '(0^- ) = b

Si x > 0 :

Para resolver la indeterminación aplicamos la regla de l'Hôpital dos veces:

Por tanto,  f  es derivable en   x = 0   si :

f '(0^- ) = f(0⁺ )      ⇔      b = - 1/2

Para calcular la derivada lateral en  0⁺  hemos aplicado la definición de derivada en un punto, pero tambíen podríamos haber calculado la derivada por la regla correspondiente y depués haber hallado el límite.

Para calcular dicho límite habrá que aplicar dos veces la regla de l'Hôpital.

Conclusión:

Si   c = 1  y  b = -1/2  la función es continua y derivable en x = 0.

a)   Determina el valor de  a  sabiendo que f es continua (y que a > 0).

Reescribimos la función:

Las funciones que definen  f  son continuas en todo  R , y en particular lo son en sus respectivos intervalos de definición.

Como nos afirman que la función   f  es continua, en particular lo es en los puntos de unión:
      x = 2   ,   x = 5

En cada caso se tiene que cumplir:    

x = 2

   f(2) = - 2 + 5 = 3

Para que el límite cuando  x → 2  exista los límites laterales tienen que coincidir:

Si   a = 3 > 0  se cumple la condición de continuidad:

x = 5

   f(5) = 5 - 5 = 0

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 5  existe y vale:

Por tanto, para que la función sea continua en   (-∞ , 10)   tiene que ser a = 3 .

b)   Esboza la gráfica de f.

Hallamos los puntos de corte con los ejes:

•   Si   x = 0 :     y = f(0) = 3⁰ - 6 = 1 - 6 = - 5     ⇒     (0 , -5)

•   Si   y = 0 :     3^x - 6 = 0     3^x = 6     ⇒     log₃ 6 = x     ⇒     (log₃ 6 , 0)

                         - x + 5 = 0     ⇒     x = 5     ⇒     (5 , 0)

                           x - 5 = 0     ⇒     x = 5     ⇒     (5 , 0)

Como la función es continua en los puntos de unión, podemos hallar dichos puntos:

•   x = 2 :     f(2) = - 2 + 5 = 3     ⇒     (2 , 3)

•   x = 5 :     f(5) = 5 - 5 = 0     ⇒     (5 , 0)

La función f no tiene asíntotas verticales. Veamos si tiene horizontales:

Hay una asíntota horizontal en  y = -6.

Como hay asíntota horizontal, no hay oblicua.

c)   Estudia la derivabilidad de  f .

La función f es derivable en cada rama, por estar definida por funciones polinómicas y exponenciales.

La derivada de la función en en cada rama, teniendo en cuenta que  a = 3,  es:

Veamos si es derivable en   x = 2   y en   x = 5   calculando sus correspondientes derivadas laterales.

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en  x = 2 , ni tampoco en  x = 5.

La función es derivable en:      (-∞ , 10] - {2 , 5}

a)   Determina  a .

Las funciones que definen a  f   son funciones continuas en todo   R ,  en particular, en sus respectivos intervalos de definición.

Tenemos que estudiar la continuidad en el punto de unión. Según el valor de   a ,  la función   f   se define:

  f(a) = a² - 5a + 7

Para que el límite cuando  x → a  exista los límites laterales tienen que coincidir:

Por tanto, si   a ≤ 2   la función no puede ser continua en a .

Tenemos que estudiar la continuidad en los puntos:   x = 2   ,   x = a

x = 2

 f(2) = 2 - 2 = 0

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 2  existe y vale:

Luego la función  f  es continua en  x = 2 .

x = a

  f(a) = a² - 5a + 7

Para que el límite cuando  x → a  exista los límites laterales tienen que coincidir:

Si   a = 3  los límites laterales coinciden, y por tanto, el límite cuando   x → a   existe y vale:

Luego la función  f  es continua en  x = a .

Conclusión:

•   Si a ≤ 2 :    la función es continua en    (-∞ , a) ∪ (a , ∞)

•   Si a > 2 :    la función es continua en todo  R .

b)   Halla la función derivada de  f .

a ≤ 2 :

            

La función es derivable en cada rama por estar definida por funciones polinómicas, y su derivada es:

a > 2 :

            

La función es derivable en cada rama por estar definida por funciones polinómicas, y su derivada es:

a)   Determina si la función  f(x) = |x| - x   es derivable en  x = 0 .

En primer lugar reescribimos la función:

Las funciones que definen a  f  son continuas en todo   R ,   por lo que si  x < 0   o   si x > 0  ,  la función  f  es continua. Veamos si  f  es continua en x = 0 :

f(0) = 0

Como el límite cuando  x → 0  coincide con  f(0)  tenemos que la función también es continua en  x = 0 . Luego  f  es continua en todo  R .

Las funciones que definen a  f  son derivables en todo R ,   por lo que si  x < 0   o   si x > 0  ,  la función  f  es derivable, y :

Veamos si f es derivable en x = 0:

f ' (0^-) = -2                    f ' (0⁺) = 0

Como   f ' (0^- ) ≠ f ' (0⁺)   la función no es derivable en x = 0 .

b)   De entre todos los números reales positivos  x , y  que suman  15   encuentra aquellos para los que el producto   x²y  es máximo.

La relación entre las variables   x   ,   y   es:      x + y = 15

Despejamos una de las variables:      y = 15 - x

La función a maximizar es :      f = x²y

Sustituimos el valor de  y  en dicha función, quedándonos  f  en función de x :

            f = x²y = x²(15 - x) = 15x² - x³      ⇒      f(x) = 15x² - x³

Para encontrar los valores que maximizan a  f  tenemos que calcular su derivada e igualarla a 0 :

            f ' (x) = 15·2x - 3x² = 30x - 3x² = 0

Resolvemos la ecuación:

            30x - 3x² = 0      ⇔      3x(10 - x) = 0      ⇔      3x = 0    o    10 - x = 0      ⇔      x = 0    o    x = 10

Como nos exigen que  x  sea un número real positivo (x > 0) descartamos el resultado x = 0.

Vamos a comprobar que x = 10 es un máximo:

           f ''(x) = 30 - 6x

           f ''(10) = 30 - 6·10 = - 30 < 0      ⇒      x = 10 es un máximo de la función f