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Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado que puede tener una o varias incógnitas.


Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias incógnitas.


Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema y su forma simplificada sería:

      sistema de ecuaciones lineales


Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas podemos hacerlo mediante tres métodos.


Método de sustitución


Buscamos la incógnita mas fácil de despejar, en este caso, escogemos la incógnita  y  de la primera ecuación lineal.


                     y = 3x - 1


Sustituimos en la segunda ecuación y simplificamos:


                     2x + 3(3x - 1) = 8   ⇒   2x + 9x - 3 = 8   ⇒   11x = 11   ⇒   x = 1


Calculado el valor de la  x  podemos hallar y:


                     y = 3x - 1 = 3 · 1 - 1   ⇒   y = 2

Método de igualación


Despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita, por ejemplo, despejaremos y:


                     3x - y = 1    ⇒    y = 3x - 1


                     2x + 3y = 8    ⇒    y = (8 - 2x)/3


Igualamos ambos resultados y simplificamos:


                     3x - 1 = (8 - 2x)/3  ⇒  9x - 3 = 8 - 2x     ⇒    11x = 11    ⇒    x = 1


Calculado el valor de la  x , hallamos el valor de   y  usando, por ejemplo, la primera de las ecuaciones:


                     y = 3x - 1 = 3 · 1 - 1    y = 2



Método de reducción

Buscamos la eliminación de una de las incógnitas en alguna de las ecuaciones. Para ello, hacemos lo siguiente:


•   Multiplicamos una de las ecuaciones por un número, de manera que se igualen, en valor absoluto, los coeficientes de una de las incógnitas.


•   Sumamos ambas ecuaciones.




En este caso, trataremos de igualar los coeficientes de la incógnita  y . Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 3. Después sumamos ambas ecuaciones.


      sistema reduccion


Despejando de la ecuación reducida tenemos que:   x = 1


Calculado el valor de  x  , podemos hallar el valor de  y  sustituyendo por x = 1 en la primera de las ecuaciones:


      3x - y = 1   ⇒   3·1 - y = 1   ⇒   y = 2


Método gráfico


Representamos, sobre el eje de coordenadas, las rectas que corresponden a cada ecuación del sistema.


                     3x - y = 1    ⇒    y = 3x - 1


                     2x + 3y = 8   ⇒   y=(8-2x)/3

Después, determinamos si tienen puntos comunes.


grafica sistema lineal


Las soluciones del sistema serán dichos puntos.


         arriba
derecha