INICIOProblemas resueltos de mezclas
Planteamiento general de un problema sobre mezclas:
Supongamos que queremos hacer una mezcla con dos sustancias, A y B.
• CA es la cantidad de la sustancia A: CA = x
• CB es la cantidad de la sustancia B: CB = Cm - x
• Cm es la cantidad total de la mezcla: Cm = CA + CB
• PA es el precio de la sustancia A.
• PB es el precio de la sustancia B.
• Pm es el precio total de la mezcla.
Tenemos la siguiente fórmula general:
CA · PA + CB· PB = Cm · Pm
También podemos poner los datos en una tabla:
| Cantidad | Precio | Coste | |
|---|---|---|---|
| Sustancia A | CA | PA | CA · PA |
| Sustancia B | CB | PB | CB · PB |
| Mezcla | CA + CB | Pm | (CA + CB) · Pm |
Se mezclan dos tipos de harina: A y B. De precio 0,60 €/Kg y 0,45 €/Kg en la proporción de 8 Kg del tipo A y 5 Kg del tipo B. ¿A qué precio sale el Kg de la mezcla?
Un comerciante tiene dos clases de café, de 25€ y de 40€ el kilogramo, respectivamente. ¿Cuántos Kg. de cada clase debe coger para hacer una mezcla de 60 Kg. a 30€ el Kg.?
Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:
| Cantidad | Precio | Coste | |
|---|---|---|---|
| Café A | x | 25 | 25x |
| Café B | 60 - x | 40 | (60 - x) · 40 |
| Mezcla | 60 | 30 | 60 · 30 |
La cantidad total de mezcla (60 kg) es la suma de ambos tipos de café. Por tanto, si tenemos x kilogramos de café de tipo A, la cantidad de café de tipo B será: 60 - x
Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:
25x + (60 - x) · 40 = 60 · 30
Resolvemos la ecuación de primer grado:
25x + (60 - x) · 40 = 60 · 30 ⇔ 25x + 2400 - 40x = 1800 ⇔ - 15x = - 600 ⇔ 15x = 600 ⇔ x = 40 kg.
Si x = 40 ⇒ 60 - x = 20 kg.
El comerciante tendrá que tomar 40 Kg. del café de tipo A y 20 kg. del café de tipo B.
¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa ha de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con 25% de grasa?
Consideraremos la leche con 35% de grasa como leche de tipo A, y a la de 4% de grasa como leche de tipo B.
Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:
| Cantidad | % de grasa | Coste | |
|---|---|---|---|
| Leche A | x | 35 | 35x |
| Leche B | 20 - x | 4 | (20 - x) · 4 |
| Mezcla | 20 | 25 | 20 · 25 |
La cantidad total de mezcla (20 l) es la suma de ambos tipos de leche. Por tanto, si tenemos x litros de leche de tipo A, la cantidad de leche de tipo B será: 20 - x
Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:
35x + (20 - x) · 4 = 20 · 25
Resolvemos la ecuación de primer grado:
35x + (20 - x) · 4 = 20 · 25 ⇔ 35x + 80 - 4x = 500 ⇔ 31x = 420 ⇔ x = 420/31
Si x = 420/31 ⇒ 20 - x = 200/31
Tendremos que coger 420/31 litros de la leche de tipo A, y 200/31 litros de la leche de tipo B.
Se mezclan vinos de 13€ el litro y de 9€ el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase hay que añadir a 80 litros de la segunda, para que vendiéndolo a 10,5€ se gane el 10%?
Para ganar el 10% en el precio de coste habrá que ganar el 10% en cada uno de los vinos que se mezclan.
El 10% de 13€ es: (10 · 13)/100 = 1,3 €
El primer vino tenemos que venderlo a: 13 + 1,3 = 14,3 €
El 10% de 9€ es: (10 · 9)/100 = 0,9 €
El segundo vino tenemos que venderlo a: 9 + 0,9 = 9,9 €
Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:
| Cantidad | Precio | Coste | |
|---|---|---|---|
| Vino A | x | 14,3 | 14,3x |
| Vino B | 80 | 9,9 | 80 · 9,9 |
| Mezcla | x + 80 | 10,5 | (x + 80) · 10,5 |
La cantidad total de la mezcla es la suma de ambos tipos de vino. Por tanto, si tenemos x litros de vino de tipo A, y 80 litros de vino de tipo B, el total será: x + 80
Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:
14,3x + 80·9,9 = (x + 80) · 10,5
Resolvemos la ecuación de primer grado:
14,3x + 80·9,9 = (x + 80) · 10,5 ⇔ 14,3x + 792 = 10,5x + 840 ⇔ 3,8x = 48 ⇔ x ≈ 12,63
Tendremos que tomar 12,63 litros de vino de 13€ el litro.