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Raíces complejas de una ecuación de segundo grado
y ecuaciones bicuadradas

Ecuaciones de segundo grado

En una ecuación de segundo grado con coeficientes reales     ax2 + bx + c = 0   si el discriminante es negativo no tiene soluciones reales y las raíces son complejas conjugadas:

La interpretación geométrica es que la parábola no corta al eje OX siendo el eje de simetría y el vértice:


Ejemplo

Halla las raíces de la siguiente ecuación:   x2 - 6x + 10 = 0



ecuacion segundo grado raices complejas


De esta forma, el eje de simetría y el vértice de la parábola son:

La parábola no corta al eje OX porque sus soluciones son imaginarias.

Conociendo las raíces hallar la ecuación

Si una ecuación de segundo grado tiene las raíces complejas conjugadas:

entonces la ecuación de segundo grado es:


Ejemplo:

Hallar la ecuación de segundo grado que tenga las raíces complejas conjugadas   3 ± i :



Método general:

Otro método:

Ecuaciones bicuadradas

En el conjunto de los números complejos las ecuaciones bicuadradas tienen siempre 4 soluciones, que pueden ser:

•   4 soluciones reales

•   2 soluciones reales y 2 soluciones imaginarias conjugadas

•   2 pares de soluciones imaginarias conjugadas


Ejemplos:

1)   Hallar las soluciones de la ecuación bicuadrada:     x4 - 4x2 - 21 = 0


En primer lugar realizamos el cambio de variable   t = x2 :



Por lo tanto la ecuación tiene dos números reales y dos números imaginarios conjugados.



2)   Hallar las soluciones de la ecuación bicuadrada:     x4 + 8x2 + 12 = 0


En primer lugar realizamos el cambio de variable   t = x2 :



Por lo tanto la ecuación tiene dos pares de números imaginarios conjugados.

izquierda
         arriba
derecha