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Contraste de hipótesis para la diferencia de medias.

Si queremos comparar la media entre dos poblaciones, tendremos dos variables con distribución normal y para las que queremos contrastar la diferencia de sus medias.
Un buen estadístico para diferencia de medias poblacionales μx - μ y es la distribución muestral de la diferencia de medias cuya distribución se aproxima a una normal


  Contraste bilateral Contraste unilateral izquierdo Contraste unilateral derecho
Hipótesis
Zona de aceptación
Valores críticos

Fases en el contraste de hipótesis.


1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4.  Calcular el estadisto de contraste y verificar la hipótesis.

5.  Interpretación de la decisión.


Ejemplo 1:

Para tomar una importante decisión a nivel profesional se desea determinar si existen diferencias significativas fundamentadas entre dos empresas referentes al salario de sus empleados. Se realiza una investigación revisando el salario de  60  trabajadores de la empresa  A  y  70  de la empresa  B. Se obtiene un salario medio de  30000 euros anuales con una desviación típica de  1000  euros en el primer grupo y un salario medio de  25000  euros anuales con una desviación típica de  1500  en el segundo grupo. ¿Podríamos decidir a favor de alguna de las dos empresas con un nivel de significación del  1 % ?

1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :              H0  :    μx - μy = 0
Hipótesis alternativa :      H :    μx - μy ≠ 0
En este caso tenemos un contraste bilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con  μ1 - μ2 = 5000,  un tamaño de muestra en  A  de  n = 60  y en  B  de  n = 70.  La distribución de las medias se distribuye :

        

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de las muestras, μ1 - μ2 = 30000 - 25000 = 5000.

5000 ∉ ( -569,99 ; 569,99 ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.

5.  Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste no pertenece a la región de aceptación, rechazamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que existen diferencias significativas y hay diferencias entre las dos empresas.

Ejemplo 2:

Se quieren probar dos tipos de alimentos para los  75  pingüinos de un zoológico cuyo peso se distribuye normalmente. Se separan en dos grupos, uno formado por  40  pingüinos y otro por  35.  Al cabo de un mes son pesados, y se obtiene para el primer grupo un peso medio de  13 kg  y desviación típica de  0,7  y para el segundo grupo, un peso medio de  11 kg  y desviación típica  0,3.
¿Se puede afirmar, con el nivel de confianza del  99 %,  que están mejor alimentados los del primer grupo que los del segundo?

1.  Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1.

Hipótesis nula :              H0  :    μx - μy > 0
Hipótesis alternativa :      H :    μx - μy ≤ 0
En este caso tenemos un contraste unilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.

2.  Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con  μ1 - μ2 = 2,  un tamaño de muestra   n = 40  en el primer grupo y  n = 35  en el segundo grupo.  La distribución de las medias se distribuye :

         

3.  Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4.  Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de las muestras, μ1 - μ2 = 13 - 11 = 2.

2 ∈ ( -2,208 ; +∞ ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste sí pertenece a nuestra región de aceptación.

5.  Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste sí pertenece a la región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que los pingüinos del primer grupo están mejor alimentados que los del segundo.

izquierda
         arriba
derecha