Problemas resueltos de contrastes para la diferencia de medias.

Ejercicios
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1) Para tomar una importante decisión a nivel profesional se desea determinar si existen diferencias significativas fundamentadas entre dos empresas referentes al salario de sus empleados. Se realiza una investigación revisando el salario de 60 trabajadores de la empresa A y 70 de la empresa B. Se obtiene un salario medio de 30000 euros anuales con una desviación típica de 1000 euros en el primer grupo y un salario medio de 25000 euros anuales con una desviación típica de 1500 en el segundo grupo. ¿Podríamos decidir a favor de alguna de las dos empresas con un nivel de significación del 1 % ?

2) Para la ubicación de una nueva biblioteca en una pequeña ciudad, se decide comparar el número medio de libros prestados por socio en dos bibliotecas de dos barrios diferentes, uno situado en el centro de la ciudad y otro en el extrarradio. Se seleccionan al azar 1000 socios de cada uno de ellas y se obtienen los siguientes datos: número medio de libros anuales en barrio céntrico, 10 con varianza 4,2 ; número medio de libros anuales en barrio extrarradio, 12,3 con varianza 5,1.
¿Hay suficiente evidencia para poder deducir con un nivel de significación de 0,05 que la biblioteca debe ser construida en el centro de la ciudad?

3) Se quieren probar dos tipos de alimentos para los 75 pingüinos de un zoológico cuyo peso se distribuye normalmente. Se separan en dos grupos, uno formado por 40 pingüinos y otro por 35. Al cabo de un mes son pesados, y se obtiene para el primer grupo un peso medio de 13 kg y desviación típica de 0,7 y para el segundo grupo, un peso medio de 11 kg y desviación típica 0,3.
¿Se puede afirmar, con el nivel de confianza del 99 %, que están mejor alimentados los del primer grupo que los del segundo?

4) Se sabe que la duración de una enfermedad sigue una distribución normal. Para la curación de dicha enfermedad se aplica un determinado antibiótico. Se desea comparar la duración de la enfermedad según que al enfermo se le haya aplicado o no en otra ocasión dicho antibiótico. Observamos a 36 enfermos a los que no se había aplicado anteriormente el antibiótio y la duración media de la enfermedad ha sido de 12 días, y a 35 enfermos a los que sí se había aplicado y que han permanecido enfermos 15 días. La desviación típica en ambos casos es de 4 días.
¿Qué podemos afirmar acerca de la duración de la enfermedad para un nivel de significación del 1 % ?

5) Un laboratorio farmacéutico fabrica dos tipos de somníferos, A y B. Se toman dos grupos similares de enfermos de insomnio formados por 75 y 90 individuos, respectivamente, y se suministra a los del primer grupo el somnífero A y a los del segundo grupo, el B. El número medio de horas de sueño para los enfermos del primer grupo es 7,93 con desviación típica de 0,77 y para los del segundo grupo es de 7,12 y 1,89 respectivamente.
A un nivel de significación del 15 %, ¿se puede decir que la diferencia entre los números de horas de sueño es significativa?

1) Para tomar una importante decisión a nivel profesional se desea determinar si existen diferencias significativas fundamentadas entre dos empresas referentes al salario de sus empleados. Se realiza una investigación revisando el salario de 60 trabajadores de la empresa A y 70 de la empresa B. Se obtiene un salario medio de 30000 euros anuales con una desviación típica de 1000 euros en el primer grupo y un salario medio de 25000 euros anuales con una desviación típica de 1500 en el segundo grupo. ¿Podríamos decidir a favor de alguna de las dos empresas con un nivel de significación del 1 % ?

1. Se formula la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁.

Hipótesis nula : H₀ : μ_x - μ_y = 0
Hipótesis alternativa : H₁ : μ_x - μ_y ≠ 0
En este caso tenemos un contraste bilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.

2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con μ₁ - μ₂ = 5000, un tamaño de muestra en A de n = 60 y en B de n = 70. La distribución de las medias se distribuye :

3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de las muestras, μ₁ - μ₂ = 30000 - 25000 = 5000.

5000 ∉ ( -569,99 ; 569,99 ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.

5. Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste no pertenece a la región de aceptación, rechazamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que existen diferencias significativas y hay diferencias entre las dos empresas.

2) Para la ubicación de una nueva biblioteca en una pequeña ciudad, se decide comparar el número medio de libros prestados por socio en dos bibliotecas de dos barrios diferentes, uno situado en el centro de la ciudad y otro en el extrarradio. Se seleccionan al azar 1000 socios de cada uno de ellas y se obtienen los siguientes datos: número medio de libros anuales en barrio céntrico, 10 con varianza 4,2 ; número medio de libros anuales en barrio extrarradio, 12,3 con varianza 5,1.
¿Hay suficiente evidencia para poder deducir con un nivel de significación de 0,05 que la biblioteca debe ser construida en el centro de la ciudad?

1. Se formula la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁.

Hipótesis nula : H₀ : μ_x - μ_y < 0
Hipótesis alternativa : H₁ : μ_x - μ_y ≥ 0
En este caso tenemos un contraste unilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.

2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con μ₁ - μ₂ = - 2,3, un tamaño de muestra n = 1000 en cada biblioteca. . La distribución de las medias se distribuye :

3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de las muestras, μ₁ - μ₂ = 10 - 12,3 = -2,3.

-2,3 ∈ ( - ∞ ; 0,3448 ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste sí pertenece a nuestra región de aceptación.

5. Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste sí pertenece a la región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que existen indicios para deducir que la biblioteca debe estar en el centro de la ciudad.

3) Se quieren probar dos tipos de alimentos para los 75 pingüinos de un zoológico cuyo peso se distribuye normalmente. Se separan en dos grupos, uno formado por 40 pingüinos y otro por 35. Al cabo de un mes son pesados, y se obtiene para el primer grupo un peso medio de 13 kg y desviación típica de 0,7 y para el segundo grupo, un peso medio de 11 kg y desviación típica 0,3.
¿Se puede afirmar, con el nivel de confianza del 99 %, que están mejor alimentados los del primer grupo que los del segundo?

1. Se formula la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁.

Hipótesis nula : H₀ : μ_x - μ_y > 0
Hipótesis alternativa : H₁ : μ_x - μ_y ≤ 0
En este caso tenemos un contraste unilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.

2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con μ₁ - μ₂ = 2, un tamaño de muestra n = 40 en el primer grupo y n = 35 en el segundo grupo. La distribución de las medias se distribuye :

3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de las muestras, μ₁ - μ₂ = 13 - 11 = 2.

2 ∈ ( -2,208 ; +∞ ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste sí pertenece a nuestra región de aceptación.

5. Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste sí pertenece a la región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que los pingüinos del primer grupo están mejor alimentados que los del segundo.

4) Se sabe que la duración de una enfermedad sigue una distribución normal. Para la curación de dicha enfermedad se aplica un determinado antibiótico. Se desea comparar la duración de la enfermedad según que al enfermo se le haya aplicado o no en otra ocasión dicho antibiótico. Observamos a 36 enfermos a los que no se había aplicado anteriormente el antibiótio y la duración media de la enfermedad ha sido de 12 días, y a 35 enfermos a los que sí se había aplicado y que han permanecido enfermos 15 días. La desviación típica en ambos casos es de 4 días.
¿Qué podemos afirmar acerca de la duración de la enfermedad para un nivel de significación del 1 % ?

1. Se formula la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁.

Hipótesis nula : H₀ : μ_x - μ_y = 0
Hipótesis alternativa : H₁ : μ_x - μ_y ≠ 0
Como la hipótesis nula se encuentra expresada en forma de igualdad, tenemos un contraste bilateral.

2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Por el enunciado conocemos que la población se distribuye según una normal.
Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con μ₁ - μ₂ = - 3, un tamaño de muestra n = 36 en el primer grupo y n = 35 en el segundo grupo. La distribución de las medias se distribuye :

3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

Para un nivel de significación α = 0,01 contruimos nuestra región de aceptación, teniendo en cuenta que al ser un contraste bilateral, emplearemo z_α/2. La región de aceptación sería la siguiente :

4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias muestrales μ₁ - μ₂ = 12 - 15 = - 3.

- 3 ∉ ( - 2,445 ; 2,445 ) ⇒ El estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.

5. Interpretación de la decisión.

Dado que el estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación, rechazamos nuestra hipótesis nula.
La duración media de la enfermedad es distinta para los enfermos a los que se les ha aplicado anteriormente el antibiótico que para los que no.

5) Un laboratorio farmacéutico fabrica dos tipos de somníferos, A y B. Se toman dos grupos similares de enfermos de insomnio formados por 75 y 90 individuos, respectivamente, y se suministra a los del primer grupo el somnífero A y a los del segundo grupo, el B. El número medio de horas de sueño para los enfermos del primer grupo es 7,93 con desviación típica de 0,77 y para los del segundo grupo es de 7,12 y 1,89 respectivamente.
A un nivel de significación del 15 %, ¿se puede decir que la diferencia entre los números de horas de sueño es significativa?

1. Se formula la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁.

Hipótesis nula : H₀ : μ₁ - μ₂ = 0
Hipótesis alternativa : H₁ : μ₁ - μ₂ ≠ 0
Tenemos un contraste bilateral, ya que nuestra hipótesis nula está formulada en forma de igualdad.

2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Desconocemos la distribución de la población, pero dado que las poblaciones de las muestras son bastante grandes, podemos aproximar la distribución a una distribución normal de la diferencia de las medias, cuya expresión sería la siguiente :

3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

Construimos nuestra region de aceptación a partir de un nivel de significación α = 0,15 y teniendo en cuenta que, al ser un contraste bilateral, emplearemos z_α/2. La región de aceptacion sería :

4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias muestrales μ₁ - μ₂ = 7,93 - 7,12 = 0,81.

0,81 ∉ ( - 0,31 ; 0,31 ) ⇒ El estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.

5. Interpretación de la decisión.

Dado que el estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación, rechazamos nuestra hipótesis nula.
Existe por lo tanto una diferencia significativa entre los números de horas de sueño con ambos somníferos.