Función de proporcionalidad inversa.

Características de la función de proporcionalidad inversa.

• Dom f ( x ) = R - { 0 }, o lo que es lo mismo : su dominino está formado por los intervalos   ( - ∞ , 0 )  y  ( 0, ∞ ).


• Rec f ( x ) = R - { 0 }, su recorrido está formado por los intervalos   ( - ∞ , 0 )  y  ( 0, ∞ ).


• Es impar :


• Su gráfica es una curva con dos ramas llamada hipérbola, que no corta a los ejes.


• Si la constante de proporcionalidad, k, es un número positivo ( k > 0 ), la función es decreciente en su dominio.
  Si k es negativo ( k < 0 ), la función es creciente en su dominio.


• Tiene dos asíntotas : los dos ejes de coordenadas.

Asíntotas.

Analicemos la funcion  :

Si evaluamos la función en puntos próximos a 0 tenemos :

x	1	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001
y	1	10	100	1000	10000	100000

Por lo tanto :   Cuando   x  →  0 ⁺,   f ( x)  →  + ∞,   

Diremos que la función tiene una asíntota vertical en   x = 0.

Si evaluamos la función en puntos grandes :

x	1	10	100	1000	10000	100000
y	1	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001

En este caso tenemos que cuando   x  →  + ∞ ,  f ( x )  →  0  

La función tiene una asíntota horizontal en   y = 0.

Representando los valores obtenidos en las tablas anteriores, obtenemos la gráfica de f ( x ).

   

No está definida para  x = 0.

Si  x  se aproxima a  0  la función toma valores cada vez más grandes. Por eso decimos que el eje Y es una asíntota.

Si  x  toma valores cada vez más grandes,  y  se acerca a  0.  El eje X es asíntota.

Su dominino está formado por los intervalos   ( - ∞ , 0 )  y  ( 0, ∞ ),  o lo que es lo mismo,   Dom f ( x) = R - { 0 }.

Asíntotas en las funciones de proporcionalidad inversa.

Si k > 0

Si k < 0

Ejemplo 1 :

Realiza el estudio completo de las siguientes funciones de proporcionalidad inversa.

1) Puntos de corte con los ejes:

Para   x = 0   la función   f(x)   no está definida puesto que    f(0) = 3/0 (no real).

Para   x = 0   la función   g(x)   no está definida puesto que    g(0) = - 3/0 (no real).

2) Simetrías:

Las funciones   f(x)   y   g(x)   son impares, es decir, son simétricas respecto al eje de coordenadas.

      

      

3) Crecimiento o decrecimiento:

Para la función   f(x)   tenemos que   k > 0 ,  por lo tanto la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. Es decir, la función es decreciente en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).

Para la función   g(x)   tenemos que   k < 0 ,  por lo tanto la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante. Es decir, la función es creciente en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).

4) Tabla de valores:

Construimos una tabla de valores.