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Función de proporcionalidad inversa.

Una función de proporcionalidad inversa es una función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales.

Su expresión algebraica es del tipo  funcion de proporcionalidad inversa  ( k ≠ 0 ), siendo  k  la constante de proporcionalidad inversa.

Características de la función de proporcionalidad inversa.



  representacion grafica funcion de proporcionalidad inversa            
representacion grafica funcion de proporcionalidad inversa

Asíntotas.

Una asíntota es la recta a la que se acerca indefinidamente la gráfica de una función.


Analicemos la funcion  :

Si evaluamos la función en puntos próximos a 0 tenemos :

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
y 1 10 100 1000 10000 100000

Por lo tanto :   Cuando   x  →  0 +,   f ( x)  →  + ∞,   

Diremos que la función tiene una asíntota vertical en   x = 0.

Si evaluamos la función en puntos grandes :

x 1 10 100 1000 10000 100000
y 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

En este caso tenemos que cuando   x  →  + ∞ ,  f ( x )  →  0  

La función tiene una asíntota horizontal en   y = 0.


Representando los valores obtenidos en las tablas anteriores, obtenemos la gráfica de f ( x ).

representacion grafica funcion proporcionalidad inversa 1/x   

  • No está definida para  x = 0.

  • Si  x  se aproxima a  0  la función toma valores cada vez más grandes. Por eso decimos que el eje Y es una asíntota.

  • Si  x  toma valores cada vez más grandes,  y  se acerca a  0.  El eje X es asíntota.

  • Su dominino está formado por los intervalos   ( - ∞ , 0 )  y  ( 0, ∞ ),  o lo que es lo mismo,   Dom f ( x) = R - { 0 }.

  • Asíntotas en las funciones de proporcionalidad inversa.

    Si k > 0

    representacion grafica asintotas funcion de proporcionalidad inversa con k >0


    Si k < 0

    representacion grafica asintotas funcion de proporcionalidad inversa con k<0


    Ejemplo 1 :

    Realiza el estudio completo de las siguientes funciones de proporcionalidad inversa.

    ejemplos representacion grafica funciones proporcionalidad inversa



    1) Puntos de corte con los ejes:


    Para   x = 0   la función   f(x)   no está definida puesto que    f(0) = 3/0 (no real).


    Para   x = 0   la función   g(x)   no está definida puesto que    g(0) = - 3/0 (no real).


    2) Simetrías:


    Las funciones   f(x)   y   g(x)   son impares, es decir, son simétricas respecto al eje de coordenadas.


          estudio simetria funciones proporcionalidad inversa


          estudio simetria funciones proporcionalidad inversa


    3) Crecimiento o decrecimiento:


    Para la función   f(x)   tenemos que   k > 0 ,  por lo tanto la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. Es decir, la función es decreciente en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).


    Para la función   g(x)   tenemos que   k < 0 ,  por lo tanto la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante. Es decir, la función es creciente en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).


    4) Tabla de valores:


    Construimos una tabla de valores.




    representacion grafica estudio funciones de proporcionalidad inversa

     

    izquierda
             arriba
    derecha