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Funciones definidas por intervalos. Funciones a trozos.

Una función está definida a trozos si su expresión algebraica depende del intervalo al que pertenezca la variable independiente.

Para representar la gráfica de una función definida por intervalos o a trozos, se representa la gráfica correspondiente a cada intervalo.


Ejemplo 1 :

Representa la gráfica de la siguiente función :

Representamos la gráfica correspondiente a cada uno de los intervlos.

x ≤ - 3    →    f ( x ) = 2x + 5

x - 5 - 4 - 3
y = f ( x ) - 5 - 3 - 1



- 3 < x < 1 → f ( x ) = x 2 - 4

x - 2 - 1 0
y = f ( x) 0 - 3 - 4



x ≥ 1 → f ( x ) = x - 3

x 1 2 3
y = f ( x ) - 2 - 1 0

Por último, representamos gráficamente las gráficas de cada uno de los intervalaos :

representacion grafica de una funcion definida por intervalos o definida a trozos



Ejemplo 2 :

Representa y describe las características de las siguientes funciones:


1)   Dominio:     Dom(f) = R


2)   Recorrido:     Im(f) = R


3)   Puntos de corte:


Puntos de corte del eje Y:


x = 0     ⇒     f(0) = 0 - 9 = - 9     ⇒     (0 , -9)


Puntos de corte con el eje X:


•   Para x < 3 :      y = 0  ,  y = x2 - 9     ⇒     0 = x2 - 9     ⇒


                             ⇒      x = ±√9 = ± 3   ,   sólo x = - 3 < 3  ⇒     (-3 , 0)


•   Para x ≥ 3 :      y = 0  ,  y = - x + 3     ⇒     x = 3 ≥ 3  ⇒     (3 , 0)


Para dibujar la gráfica, además de los puntos de corte con los ejes, vamos a necesitar el vértice de la parábola:

         

Si  x = 0 , hemos visto que   y = - 9.


El vértice de la parábola es:     (0 , - 9)


4)   Continuidad:


(-∞ , 3) :   la función es continua por ser una parábola, es decir, una función polinómica de segundo grado.


(3 , ∞) :   la función es continua por ser una función lineal.


Veamos si  f   es continua en el punto  x = 3 :


         •   f(x) = x2 - 9 :      f(3) = 32 - 9 = 0


         •   f(x) = - x + 3 :      f(3) = - 3 + 3 = 0


Como sí coinciden,  f   es continua en x = 3.


Por tanto, f es continua en todo   R .


5)   Monotonía:


•   Si  x < 3   f(x) = x2 - 9 :      es una parábola con coeficiente   a = 1   positivo, por tanto, es decreciente hasta su vértice (situado en x = 0), y creciente en el resto de valores menores que 3.


•   Si  x ≥ 1   f(x) = x - 2 :      es una función lineal con pendiente negativa (m = -1), por tanto es decreciente.


Por tanto, f es creciente en:     (0 , 3)


Y es decreciente en:     (-∞ , 0) ∪ (3 , ∞)


Es claro, que existe un mínimo relativo en el vértice de la parábola (0 , 3) .



izquierda
         arriba
derecha