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Funciones logarítmicas.

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:



Es la inversa de la función exponencial   f(x) = ax


Las características generales de las funciones logarítmicas son:


1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:    Dom(f) = (0. + ∞) .


2) Su recorrido es R:    Im(f) = R .


3) Son funciones continuas.


4) Como   loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto   (1, 0) .


    La función corta el eje X en el punto   (1, 0)   y no corta el eje Y.


5) Como   logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto   (a, 1) .


6) Si   a > 1   la función es creciente.


    Si   0 < a < 1   la función es decreciente.


7) Son convexas si   a > 1 .


    Son concavas si   0 < a < 1 .


8) El eje Y es una asíntota vertical.


Ejemplo de funciones logarítmicas:



1) Dominio:


El dominio de las funciones logarítmicas es   (0, + ∞) .


Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones logarítmicas es R.


Im(f) = Im(g) = R .


3) Puntos de corte:


f(1) = log21 = 0  ,   el punto de corte con el eje X es   (1, 0).


g(1) = log1/21 = 0  ,   el punto de corte con el eje X es   (1, 0).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje Y.


3) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .


4) Concavidad y convexidad:


Las función   f(x)    es convexa ya que   a > 1 .


Las función   g(x)   es concava ya que   0 < a < 1 .


5) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje Y.

En f ( x ) , a > 1, mientras que en g ( x ) a < 1 :

f ( x ) :

x 0,001 0,00001 0,0000001 0,000000001
y - 9,96 -16,60 - 23,25 - 29,89

  Cuando x → 0 + , entonces log 2 x → - ∞

  g ( x ) :

x 0,001 0,00001 0,0000001 0,000000001
y 9,96 16,60 23,25 29,89

  Cuando x → 0 + , entonces log 1 / 2 x → ∞

6) Tabla de valores:




 

Resumen de las propiedades de la función logaritmica.

1      La función logarítmica es la inversa de la exponencial:
     y = Log x      ⇔      x = 10y
2      La función    y = Log x   tiene por dominio   { x ∈ R  |  x > 0 }   y por recorrido   R .
3      La función    y = Log x   es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = Log x   es convexa o cóncava hacia abajo en todo su dominio.

izquierda
         arriba
derecha