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Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma:


definicion


Las características generales de las funciones exponenciales son:


1) El dominio de una función exponencial es R.


2) Su recorrido es   (0, +∞) .


3) Son funciones continuas.


4) Como   a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1).


    La función corta el eje Y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje X.


5) Como   a1 = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a).


6) Si   a > 1   la función es creciente.


    Si   0 < a < 1   la función es decreciente.


7) Son siempre cóncavas.


8) El eje X es una asíntota horizontal.



Ejemplo de funciones exponenciales:  

1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


Dom(f) = Dom(g) = R .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .


Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .


3) Puntos de corte:


f(0) = 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).


g(0) = - 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .


5) Concavidad y convexidad:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   son cóncavas.


6) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

En  f ( x )   a > 1   y en  g ( x )   0 < a < 1.

f ( x ) :

x - 5 - 10 - 20
y 0,03125 0,00097 9,53 · 10 - 7

  Cuando  x → - ∞ , entonces  2 x → 0

  g( x ) :

x 5 10 30
y 0,03125 0,00097 9,53 · 10 - 7

  Cuando  x → ∞ , entonces  a - x → 0


7) Tabla de valores:


tabla_valores


tabla_valores


exponencial





Resumen de las propiedades de la función exponencial   ax

1      La función exponencial es la inversa de la logarítmica:
     y = ax      ⇔      x = log y
2      La función   y = ax  tiene por dominio   R   y por recorrido   y > 0
3   La función    y = ax  es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = ax   es cóncava hacia arriba en todo su dominio.

Funciones de la forma f (x) = k · a x

La gráfica de una función de este tipo tiene la mismas características que la de f (x) = a x. La única diferencia es que el punto de corte con el eje de ordenadas es ( 0, k )

Ejemplo 2 :

1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


Dom(f) = Dom(g) = R .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .


Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .


3) Puntos de corte:


f(0) =3 · 50 = 3  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 3).


g(0) = 2 · ( 1 / 3 ) 0 = 2  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 2).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .


5) Concavidad y convexidad:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   son cóncavas.


6) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

En  f ( x )   a > 1   y en  g ( x )   0 < a < 1.

f ( x ) :

  Cuando  x → - ∞ , entonces  2 x → 0

g( x ) :

  Cuando  x → ∞ , entonces  a - x → 0


7) Tabla de valores:

f (x) :

x - 1 0 1
y 0,6 3 15

g (x) :

x - 1 0 1
y 6 2 0,6


representacion grafica funcion exponencial





Funciones de la forma f (x) = a k · x

Las funciones de la forma   f (x) = a k · x,  con  k ≠ 0,  son funciones de tipo exponencial con base  a k

f (x) = a k · x = ( a k ) x


Ejemplo 3 :

1) Dominio:


El dominio de las funciones exponenciales es R.


Dom(f) = Dom(g) = R .


2) Recorrido:


El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .


Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .


3) Puntos de corte:


f(0) =2 2 · 0 = 2 0 = 1, el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).


g(0) = 2 0/2 = 2 0 = 1, el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).


La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.


4) Crecimiento y decrecimiento:


La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .


La función   g(x)   es creciente ya que   a > 1 .


5) Concavidad y convexidad:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   son cóncavas.


6) Asíntotas:


Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

En  f ( x )   a > 1   y en  g ( x )   a > 1.

f ( x ) :

  Cuando  x → - ∞ , entonces  2 2x → 0

g( x ) :

  Cuando  x → - ∞ , entonces  2 x/2 → 0


7) Tabla de valores:

f (x) :

x - 1 0 1
y 0,25 1 4

g (x) :

x - 2 0 2
y 0,50 1 2


representacion grafica funcion exponencial





izquierda
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derecha