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Ejercicios de funciones trigonométricas: puntos de corte, período.

Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones:

1)   f(x) = sen(x) - cos(x)

2)   f(x) = sen(x) + sen(2x)

función trigonométrica

4)   f(x) = sen(x) - sen(2x)


Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:

5)   f(x) = sen(x + π/2)

6)   f(x) = cos(3x + π)

7)   f(x) = tg(5x)

8)   f(x) = sen(3πx + π)

9)   sen(6x)cos(4x)

10)   f(x) = cos(6x)tg(3x)

11)   f(x) = sen2(x)

12)   Calcula la amplitud, el periodo y la traslación de las siguientes funciones:

1)   y = 3 sen 5x

2)   y = - 4 cos 3x

3)   y = - sen (x/2)

ejemplos amplitud periodo traslacion

ejemplo amplitud periodo traslacion

ejemplo amplitud y periodo

ejemplo amplitud periodo y traslacion seno

13)   Determina el periodo, la traslación y las asíntotas verticales de las siguientes funciones:

1)   y = 5 tg 3x

2)   y = - 2 tg (x + π/2)

ejemplo periodo tangente

ejemplo periodo traslacion y asintotas tangente




Funciones trigonométricas: periodo, amplitud, asíntotas verticales, dominio e imagen.

  Periodo Amplitud

Asintotas verticales

Dominio Imagen
y = sen x 1 No tiene R { y∈R  |  -1 ≤ y ≤ 1 }
y = cos x 1 No tiene R { y∈R  |  -1 ≤ y ≤ 1 }
y = tg x π   π/2 (2k + 1)   ,  k∈Z { x∈R |  x ≠ π/2 (2k + 1)  } R
y = cotg x π   k·π     ,  k∈Z { x∈R |  x ≠k·π  } R
y = sec x   π/2 (2k + 1)   ,  k∈Z { x∈R |  x ≠ π/2 (2k + 1)  } { y∈R  | y ≤ -1   ó    y ≥ 1 }
y = cosec x   k π     ,  k∈Z { x∈R |  x ≠k·π  } { y∈R  | y ≤ -1   ó    y ≥ 1 }

Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas

Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas inversas

Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:


1)   f(x) = sen(x) - cos(x)


Si   x = 0 :      f(0) = sen(0) - cos(0) = - 1     ⇒     (0 , -1)


Si   y = 0 :      0 = sen(x) - cos(x)     ⇔     sen(x) = cos(x)

                       puntos de corte

                       puntos de corte

                    puntos de corte


Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:


2)   f(x) = sen(x) + sen(2x)


Si  x = 0 :      f(0) = sen(0) + sen(0) = 0     ⇒     (0 , 0)


Si  y = 0 :      0 = sen(x) + sen(2x)     ⇔     0 = sen(x) + 2sen(x)cos(x)     ⇔     0 = sen(x) [ 1 + 2cos(x) ]


           puntos de corte


           puntos de corte


           coseno


coseno




Del dibujo se deduce que:


cos 120º = cos 240º = - 1/2


Pasamos los grados a radianes:


120º = 2/3 π      ,      240º = 4/3 π



Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:


función trigonométrica


Si  x = 0 :      f(0) = sen(π/2) - cos(-π/2) = 1 - 0 = 1      ⇒     (0 , 1)


Si  y = 0 :      0 = sen( x + π/2) - cos(x - π/2)


seno coseno




Del dibujo se deduce que:


sen(x + π/2) = cos(x)


Aunque no nos hace falta, también se observa la equivalencia:


sen(x) = - cos(x + π/2)



coseno seno




Del dibujo se deduce que:


cos(x - π/2) = sen(x)


Aunque no nos hace falta, también se observa la equivalencia:


cos(x) = - sen(x - π/2)



0 = sen(x + π/2) - cos(x - π/2)     ⇔     0 = cos(x) - sen(x)     ⇔     sen(x) = cos(x)


Es la misma ecuación del apartado 1), por tanto, los puntos de corte con el eje Y son:

                       puntos de corte


Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:


4)   f(x) = sen(x) - sen(2x)


Si  x = 0 :      f(0) = sen(0) - sen(0) = 0     ⇒     (0 , 0)


Si  y = 0 :      0 = sen(x) - sen(2x)     ⇔     0 = sen(x) - 2sen(x)cos(x)     ⇔     0 = sen(x) [ 1 - 2cos(x) ]


            puntos de corte


            puntos de corte


            puntos de corte

Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


5)   f(x) = sen(x + π/2)


El período de la función   sen(x)   es   2π , por tanto:


f(x) = sen(x + π/2) = sen(x + π/2 + 2π) = f(x + 2π)


El período de f(x) es  T = 2π .


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:

Por tanto el periodo es:   2π/1 = 2π

La gráfica   f(x)= sen(x + π/2)   se obtiene desplazando la función   sen(x)  a su izquierda π/2 unidades, por lo que el período no varía.


Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


6)   f(x) = cos(3x + π)


El período de la función   cos(x)   es   2π , por tanto:


período coseno


El período de f(x) es  T = 2π/3 .


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:

Por tanto el periodo es:   2π/3

Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


7)   f(x) = tg(5x)


El período de la función   tg(x)   es  π , por tanto:


período tangente

El período de f(x) es  T = π/5 .


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:

Por tanto, el periodo es:   π/5

Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


8)   f(x) = sen(3πx + π)


El período de la función   sen(x)   es  2π , por tanto:


período seno

El período de f(x) es  T = 2/3 .


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:

Por tanto el periodo es:   2π/3π = 2/3

Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


9)   sen(6x)cos(4x)


Tanto el período de la función   sen(x)  , como el de la función   cos(x)  ,  es  2π .


           sen(x) = sen(x + 2π ) = sen(x + 4π ) = sen(x + 6π ) = ...


           cos(x) = cos(x + 2π ) = cos(x + 4π ) = cos(x + 6π ) = ...


período producto


El período de f(x) es  T = π .


Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


10)   f(x) = cos(6x)tg(3x)


El período de la función coseno es 2π , y el de la función tangente es π , por tanto:


           cos(x) = cos(x + 2π ) = cos(x + 4π ) = cos(x + 6π ) = ...


           tg(x) = tg(x + π ) = tg(x + 2π ) = tg(x + 3π ) = tg(x + 4π ) = ...


período producto


El período de f(x) es  T = π .


Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:


11)   f(x) = sen2(x)


Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período.


Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble:      cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)


Y también:      1 = cos2(x) + sen2(x)


cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)     ⇔     cos(2x) = (1 - sen2(x) ) - sen2(x)     ⇔     cos(2x) = 1 - 2sen2(x)     ⇔


⇔     2sen2(x) = 1 - cos(2x)     ⇔     sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2


Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π :


período seno cuadrado


El período de f(x) es  T = π .

Calcula la amplitud, el periodo y la traslación de las siguientes funciones:


periodo y amplitud



1)   y = 3 sen 5x

Amplitud = |3| = 3

Periodo = 2π/|5| = 2π/5

Traslación :    5x = 0        ⇒      x = 0
                    5x = 2π      ⇒      x = 2π/5    (igual al periodo)

                   No tiene traslación.

amplitud periodo traslacion seno

2)   y = - 4 cos 3x

Amplitud = |-4| = 4

Periodo = 2π/|3| = 2π/3

Traslación :    3x = 0       ⇒      x = 0
                     3x = 2π      ⇒      x = 2π/3    (igual al periodo)

                    No tiene traslación.

3)   y = - sen (x/2)

Amplitud = |-1| = 1

periodo seno

Traslación :    x/2 = 0       ⇒      x = 0
                     x/2 = 2π      ⇒      x = 4π    (igual al periodo)

                    No tiene traslación.


ejemplos amplitud periodo traslacion

Amplitud = |1/5| = 1/5

Periodo = 2π/|2| = 2π/2 = π

Traslación :   2x + π/2 = 0       ⇒      x = - π/4
                     2x + π/2 = 2π      ⇒      x = 3π/4

amplitud periodo traslacion coseno

ejemplo amplitud periodo traslacion

Amplitud = |2/3| = 2/3

periodo seno

traslacion coseno

ejemplo amplitud y periodo

Amplitud = |-3/4| = 3/4

periodo coseno

ejemplo traslacion coseno

ejemplo amplitud periodo y traslacion seno

Amplitud = |1/3| = 1/3

periodo seno

traslacion seno

Determina el periodo, la traslación y las asíntotas verticales de las siguientes funciones:


periodo y amplitud tangente



1)   y = 5 tg 3x

Periodo = π/|3| = π/3

Traslación = - 0/3 = 0      ⇒      No tiene traslación

Asíntotas verticales:   3x = - π/2    ⇒      x = - π/6
                               3x = π/2      ⇒      x = π/6

periodo traslacion asintotas tangente

2)   y = - 2 tg (x + π/2)

Periodo = π/|1| = π

Traslación = - (π/2)/1 = - π/2  a la izquierda

Asíntotas verticales:   x + π/2= - π/2    ⇒      x = - π
                               x + π/2 = π/2      ⇒      x = 0

ejemplo periodo tangente

Periodo = π/|5| = π/5

Traslación = - (π/3)/5 = - π/15  a la izquierda

Asíntotas verticales:   5x + π/3= - π/2    ⇒      x = - π/6
                               5x + π/3 = π/2      ⇒      x =π/35


ejemplo periodo traslacion y asintotas tangente

periodo tangente

traslacion tangente

asintotas verticales tangente

periodo traslacion asintotas tangente