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Ejercicios resueltos de integrales racionales I : raíces reales simples y múltiples

Haga click en la correspondiente pestaña para ver la solución del ejercicio


Tipo   I


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


Tipo   II


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales

Tipo   III


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales


ejercicios integrales racionales raices reales



Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Es una integral racional con grado del numerador mayor que el del denominador.
Ver integrales racionales.


division de polinomios           

formula del cociente


integral racional resuelta


integral racional resuelta




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales


integral racional


El grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 2) , por lo que dividiremos para aplicar después la fórmula del cociente:
Ver integrales racionales.

division polinomios         

formula cociente


integral racional resuelta


solucion integral racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Usamos la regla de Ruffini para realizar la división:

ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional

ejemplo integracion funcion racional



Una vez descompuesta la función racional en funciones simples, realizamos la integración:


ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


ejemplo integracion funcion racional

ejemplo integracion funcion racional



ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores


ejercicios integrales racionales raices reales


ejemplo integracion funcion racional


El denominador tiene dos raíces reales distintas:     x1 = 1     y     x2 = 2


ejemplo integracion funcion racional

ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional

ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional


ejemplo integracion funcion racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores


ejercicios integrales racionales raices reales



ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional



El denominador tiene tres raíces reales distintas:     x1 = 1     ,     x2 = -1     y     x3 = -3

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional



ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores


ejercicios integrales racionales raices reales


Como el numerador tiene mayor grado que el denominador, vamos a realizar la división de polinomios para aplicar después la fórmula del cociente.


division de polinomios


formula cociente



integral racional


La primera integral es inmediata. Para la segunda, calcularemos las raices del denominador:

raices polinomio grado 3


Son tres raíces reales simples, por tanto:
Ver integrales racionales.

integral racional

integral racional


Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que ser iguales:

integral racional

Para   x = 0 :      2 = - 2A      ⇒      A = -1

Para   x = 2 :      16 = 6B      ⇒      B = 16/6 = 8/3

Para   x = -1 :       - 5 = 3C      ⇒      C = - 5/3


integral racional resuelta

solucion integral racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores


ejercicio integral racional


Podemos factorizar el denominador así:

x2 - 1 = x2 - 12 = (x - 1)(x + 1)

Luego las raíces de   x2-1 = 0   son :     1   ,   -1


Son dos raíces reales simples, por tanto:
Ver integrales racionales.

integral racional raices reales simples

integral racional raices simples


Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que ser iguales:

integral racional raices simples

Para   x = 1 :      1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) = 2A      ⇒      A = 1/2

Para   x = -1 :      1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) = -2B      ⇒      B = -1/2


integral racional resuelta


integral racional resuelta


Aplicando las propiedades de los logaritmos se obtiene:

solucion integral racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


El denominador tiene una raíz real triple      x = -1

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales


ejemplo integral funcion racional


El denominador tiene una raíz real simple     x1 = 0     y una raíz real doble     x2 = 1        x3 = 1

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional

ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional


ejemplo integral funcion racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, vamos a realizar la división de polinomios y después aplicaremos la fórmula del cociente:


division de polinomios

formula del cociente



integral racional resuelta


La primera integral es inmediata.
La segunda integral es de tipo racional. Para resolverla, primero hallamos las raices del denominador:


factorizacion polinomio Ruffini

x3 - 6x2 + 12x - 8 = (x - 2)(x - 2)(x - 2) = (x - 2)3

El denominador tiene una raíz real triple:    x = 2

Ver integrales racionales, raices reales multiples.


integral racional raices multiples

integral racional raices multiples

integral racional raices multiples


Para   x = 2 :      22 = A

Para   x = 0 :      6 = A - 2B + 4C      ⇒      2B - 4C = 16      ⇒      B - 2C = 8

Para   x = 1 :      14 = A - B + C      ⇒      14 = 22 - B + C      ⇒      B - C = 8

Resolviendo el sistema se obtiene:      A = 22   ,   C = 0   ,   B = 8


integral racional resuelta


integral racional resuelta


integral racional resuelta




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Las raices del denominador son:
x1 = 3    (doble)      ,      x2 = -1    (doble)


Son dos raices reales, cada una de ellas doble.

integral racional raices multiples

integral racional raices multiples

integral racional raices multiples


Para   x = 3 :      72 = 16B      ⇒      B = 9/2

Para   x = -1 :      8 = 16D      ⇒      D = 1/2

Para   x = 0 :      - 3A + B + 9C + 9D = 9

Para   x = 1 :      - 8A + 4B + 8C + 4D = 20

Resolviendo el sistema se obtiene:      A = 0   ,   B = 9/2   ,   C = 0   ,   D = 1/2


integral racional resuelta


solucion integral racional raices multiples


solucion integral racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Observamos que el denominador tiene dos raíces reales, una de ellas simple y la otra doble:
x1 = 1           ,               x2 = -2     ,    x3 = -2     (doble)



integral racional raices multiples

integral racional resuelta raices reales

integral racional resuelta


Para   x = 1 :      1 = A(1 + 2)2 + B(1 - 1) + C(1 - 1)(1 + 2) = 9A      ⇒      A = 1/9

Para   x = -2 :      1 = A(-2 + 2)2 + B(-2 - 1) + C(-2 - 1)(-2 + 2) = -3B      ⇒      B = - 1/3

Para   x = 0 :      1 = A(0 + 2)2 + B(0 - 1) + C(0 - 1)(0 + 2) = 4A - B - 2C      ⇒      C = - 1/9


integral racional raices multiples resuelta


integral racional raices multiples resuelta


integral racional raices multiples resuelta


solucion integral racional raices multiples


Resolviendo las integrales inmediatas y aplicando las propiedades de los logaritmos:

solucion integral racional




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Factorizamos el denominador :


factorizacion integral racional

x3 - 4x2 + 4x = x (x2 - 4x + 4)

x3 - 4x2 + 4x = x (x - 2) (x - 2) = x (x - 2)2


El denominador tiene dos raices reales, una de ellas simple y la otra doble:
x1 = 0      ,      x2 = 2   (doble)

integral racional raices reales

integral racional raices reales

integral racional raices reales


Para   x = 0 :      2 = 4A      ⇒      A = 1/2

Para   x = 2 :      4 = 2B      ⇒      B = 2

Para   x = 1 :      3 = A + B - C      ⇒      3 = 1/2 + 2 - C      ⇒      C = - 1/2


integral racional raices reales resuelta


solucion integral racional raices reales




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

ejercicios integrales racionales raices reales


Factorizamos el denominador aplicando Ruffini:

descomposicion por ruffini

- x3 + x2 + x - 1 = - 1 (x + 1)(x - 1)(x - 1) = (- x - 1)(x - 1)2


Son tres raices reales, una de ellas simple y la otra doble:
x1 = -1            ,               x2 = 1     ,    x3 = 1     (doble)


integral racional raices reales

integral racional raices reales

integral racional raices reales


Para   x = -1 :      4 = 4A      ⇒      A = 1

Para   x = 1 :      16 = - 2B      ⇒      B = - 8

Para   x = 0 :      10 = A - B + C      ⇒      10 = 1 + 8 - C      ⇒      C = 1


integral racional resuelta


solucion integral racional raices reales




Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores