Ejercicios resueltos de integrales racionales I : raíces reales simples y múltiples

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Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

Es una integral racional con grado del numerador mayor que el del denominador.
Ver integrales racionales.

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

El grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 2) , por lo que dividiremos para aplicar después la fórmula del cociente:
Ver integrales racionales.

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

Usamos la regla de Ruffini para realizar la división:

Una vez descompuesta la función racional en funciones simples, realizamos la integración:

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

SELECTIVIDAD

El denominador tiene dos raíces reales distintas:     x₁ = 1     y     x₂ = 2

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

SELECTIVIDAD

El denominador tiene tres raíces reales distintas:     x₁ = 1     ,     x₂ = -1     y     x₃ = -3

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

SELECTIVIDAD

Como el numerador tiene mayor grado que el denominador, vamos a realizar la división de polinomios para aplicar después la fórmula del cociente.

La primera integral es inmediata. Para la segunda, calcularemos las raices del denominador:

Son tres raíces reales simples, por tanto:
Ver integrales racionales.

Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que ser iguales:

Para   x = 0 :      2 = - 2A      ⇒      A = -1

Para   x = 2 :      16 = 6B      ⇒      B = 16/6 = 8/3

Para   x = -1 :       - 5 = 3C      ⇒      C = - 5/3

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

SELECTIVIDAD

Podemos factorizar el denominador así:

x² - 1 = x² - 1² = (x - 1)(x + 1)

Luego las raíces de   x²-1 = 0   son :     1   ,   -1

Son dos raíces reales simples, por tanto:
Ver integrales racionales.

Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que ser iguales:

Para   x = 1 :      1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) = 2A      ⇒      A = 1/2

Para   x = -1 :      1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) = -2B      ⇒      B = -1/2

Aplicando las propiedades de los logaritmos se obtiene:

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

El denominador tiene una raíz real triple      x = -1

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

El denominador tiene una raíz real simple     x₁ = 0     y una raíz real doble     x₂ = 1        x₃ = 1

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, vamos a realizar la división de polinomios y después aplicaremos la fórmula del cociente:

La primera integral es inmediata.
La segunda integral es de tipo racional. Para resolverla, primero hallamos las raices del denominador:

x³ - 6x² + 12x - 8 = (x - 2)(x - 2)(x - 2) = (x - 2)³

El denominador tiene una raíz real triple:    x = 2

Ver integrales racionales, raices reales multiples.

Para   x = 2 :      22 = A

Para   x = 0 :      6 = A - 2B + 4C      ⇒      2B - 4C = 16      ⇒      B - 2C = 8

Para   x = 1 :      14 = A - B + C      ⇒      14 = 22 - B + C      ⇒      B - C = 8

Resolviendo el sistema se obtiene:      A = 22   ,   C = 0   ,   B = 8

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

Las raices del denominador son:
x₁ = 3    (doble)      ,      x₂ = -1    (doble)

Son dos raices reales, cada una de ellas doble.

Para   x = 3 :      72 = 16B      ⇒      B = 9/2

Para   x = -1 :      8 = 16D      ⇒      D = 1/2

Para   x = 0 :      - 3A + B + 9C + 9D = 9

Para   x = 1 :      - 8A + 4B + 8C + 4D = 20

Resolviendo el sistema se obtiene:      A = 0   ,   B = 9/2   ,   C = 0   ,   D = 1/2

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

Observamos que el denominador tiene dos raíces reales, una de ellas simple y la otra doble:
x₁ = 1           ,               x₂ = -2     ,    x₃ = -2     (doble)

Para   x = 1 :      1 = A(1 + 2)² + B(1 - 1) + C(1 - 1)(1 + 2) = 9A      ⇒      A = 1/9

Para   x = -2 :      1 = A(-2 + 2)² + B(-2 - 1) + C(-2 - 1)(-2 + 2) = -3B      ⇒      B = - 1/3

Para   x = 0 :      1 = A(0 + 2)² + B(0 - 1) + C(0 - 1)(0 + 2) = 4A - B - 2C      ⇒      C = - 1/9

Resolviendo las integrales inmediatas y aplicando las propiedades de los logaritmos:

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

SELECTIVIDAD

Factorizamos el denominador :

x³ - 4x² + 4x = x (x² - 4x + 4)

x³ - 4x² + 4x = x (x - 2) (x - 2) = x (x - 2)²

El denominador tiene dos raices reales, una de ellas simple y la otra doble:
x₁ = 0      ,      x₂ = 2   (doble)

Para   x = 0 :      2 = 4A      ⇒      A = 1/2

Para   x = 2 :      4 = 2B      ⇒      B = 2

Para   x = 1 :      3 = A + B - C      ⇒      3 = 1/2 + 2 - C      ⇒      C = - 1/2

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores

SELECTIVIDAD

Factorizamos el denominador aplicando Ruffini:

- x³ + x² + x - 1 = - 1 (x + 1)(x - 1)(x - 1) = (- x - 1)(x - 1)²

Son tres raices reales, una de ellas simple y la otra doble:
x₁ = -1            ,               x₂ = 1     ,    x₃ = 1     (doble)

Para   x = -1 :      4 = 4A      ⇒      A = 1

Para   x = 1 :      16 = - 2B      ⇒      B = - 8

Para   x = 0 :      10 = A - B + C      ⇒      10 = 1 + 8 - C      ⇒      C = 1

Se pueden separar los numeradores pero no los denominadores