INICIOMonotonía de una función
La monotonía consiste en estudiar como aumenta o disminuye la variable dependiente y al aumentar o disminuir la variable independiente x .
Crecimiento de una función
Crecimiento de una función en un intervalo
Una función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si para dos valores cualesquiera del intervalo x1 y x2 tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) < f(x2).
Decir que f(x1) < f(x2) es lo mismo que :
Será creciente si f(x1) ≤ f(x2) , es decir:
Una función es creciente si al aumentar la 'x' aumenta la 'y' .
Ejemplos de funciones estrictamente crecientes:
1) f(x) = 2x
La función f(x) = 2x es estrictamente creciente en R , ya que para dos puntos cualesquiera x1 y x2 obtenemos que:
2) f(x) = x3
Es estrictamente creciente en R , ya que para dos puntos cualesquiera x1 y x2 obtenemos que:
Observa la diferencia de los cubos.
Crecimiento de una función en un punto
Una función f(x) es estrictamente creciente en un punto de abscisa x0 si existe un entorno simétrico de x0 en el que la función es estrictamente creciente. Es decir:
Una función f(x) es creciente en un punto de abscisa x0 si existe un entorno simétrico de x0 en el que la función es creciente. Es decir:
Decrecimiento de una función
Decrecimiento de una función en un intervalo
Una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo (a, b) si para dos valores cualesquiera del intervalo x1 y x2 tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) > f(x2) .
Decir que f(x1) > f(x2) es lo mismo que :
Será creciente si f(x1) ≥ f(x2) , es decir:
Una función es decreciente si al aumentar la 'x' disminuye la 'y' .
Ejemplo de función estrictamente creciente:
f(x) = 1/x
Es estrictamente decreciente en [0 , ∞) , ya que para dos puntos cualesquiera x1 y x2 en dicho intervalo obtenemos que:
Ya que el denominador es siempre positivo.
Es estrictamente decreciente en [-∞ , 0] . La demostración es la misma que en el caso anterior.
Decrecimiento de una función en un punto
Una función f(x) es estrictamente decreciente en un punto de abscisa x0 si existe un entorno simétrico de x0 en el que la función es estrictamente decreciente. Es decir:
Una función f(x) es decreciente en un punto de abscisa x0 si existe un entorno simétrico de x0 en el que la función es decreciente. Es decir:
Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
f(x) = x3 - 3x + 2
• (-∞ , - 1): la función es estrictamente creciente.
Es decir, al aumentar la x, aumenta la y .
• (- 1 , 1): la función es estrictamente decreciente.
Es decir, al aumentar la x, disminuye la y .
• (1 , ∞): la función es estrictamente creciente.
Es decir, al aumentar la x, aumenta la y .
