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Funciones acotadas. Extremos absolutos

Función acotada superiormente. Máximo absoluto

Una función   f   decimos que está acotada superiormente si existe un número   K   tal que la imagen de cualquier punto    x   del dominio de   f   es siempre menor o igual que ese valor.



acotada_sup



A este número   K   le llamamos cota superior de la función   f .


Una función acotada superiormente tiene infinitas cotas superiores. A la más pequeña de las cotas superiores le llamamos extremo superior o supremo y lo expresamos como   sup(f) .


Si la función alcanza al supremo, este se llama máximo absoluto de la función, es decir, que existe   x0 ∈ Dom(f)   tal que   f(x0) = K ,   siendo    K = sup(f) ,   diremos que   f   tiene un máximo absoluto y este máximo absoluto es K .



acotada_sup



Observando la gráfica, podemos advertir que una cota superior es   K= 4   o para toda k>4 es cota superior.

También se puede advertir que la cota superior más pequeña es   K= 3   por tanto   sup(f) = 3 .

Como  K = 3 ∈ Im(f)  (K pertenece a la imagen=rango=recorrido de f) tenemos que   K = 3   es el máximo absoluto de la función.


Gráficamente, si al trazar la línea horizontal del supremo, esta toca a la gráfica de la función en algún punto, entonces la función tiene un máximo absoluto, y si no toca a la gráfica en ningún punto no tiene máximo absoluto.


Función acotada inferiormente. Mínimo absoluto

Una función   f   decimos que está acotada inferiormente si existe un número   P   tal que la imagen de cualquier punto    x   del dominio de   f   es siempre mayor o igual que ese valor.



acotada_inf



A este número   P   le llamamos cota inferior de la función   f .


Una función acotada inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. A la más grande de las cotas inferiores le llamamos extremo inferior o ínfimo y lo expresamos como   inf(f) .


Si la función alcanza al supremo, este se llama mínimo absoluto de la función, es decir, que existe   x0 ∈ Dom(f)   tal que   f(x0) = P ,   siendo    P = inf(f) ,   diremos que   f   tiene un mínimo absoluto y este mínimo absoluto es P .



acotada_inf



Observando la gráfica, podemos advertir que una cota inferior es   P=-3  o  para toda P<-3 es cota inferior.

También se puede advertir que la cota inferior más grande es   P= -2  por tanto   inf(f) = - 2.

Como   P = - 2∈ Im(f)   tenemos que   P = - 2   es el mínimo absoluto de la función.


Gráficamente, si al trazar la línea horizontal del ínfimo, ésta toca a la gráfica de la función en algún punto, entonces la función tiene un mínimo absoluto, y si no toca a la gráfica en ningún punto no tiene mínimo absoluto.



Función acotada

Una función    f   está acotada si está acotada superior e inferiormente.


Ejemplo de función acotada:      f(x) = 4x / (x2 - 4)

funcion_acotada


Una cota inferior es P = -2

Observando la gráfica del ejemplo, podemos ver que la cota inferior más grande es  P = -1 ,  por lo que  inf(f) = -1.


Como   -1 ∈ Im(f)   tenemos que  P = -1  es el mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta  y = -1 ,  ésta toca a la gráfica de la función.


Una cota superior es K = 2

Por otro lado, la cota superior más pequeña es K = 1 ,  por lo que   sup(f) = 1 .


Como   1 ∈ Im(f)   tenemos que  K = 1  es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta  y = 1 ,  también vemos que ésta toca a la gráfica de la función.


Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.


Ejemplo de función acotada:     f(x) = 2 / (x2 + 1)

funcion_acotada


Una cota inferior es P = -1

La cota inferior más grande es  P = 0 ,  por lo que  inf(f) = 0 .


Como   0 ∉ Im(f)   tenemos que  P = 0  no es mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta  y = 0 ,  ésta no toca a la gráfica de la función.


Una cota superior es K =3

Por otro lado, la cota superior más pequeña es K = 2 ,  por lo que   sup(f) = 2 .


Como   2 ∈ Im(f)   tenemos que K = 2  es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta  y = 2 , vemos que ésta toca a la gráfica de la función.


Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.


Ejemplo de función acotada:     

funcion_acotada


Una cota inferior es P = -2

La cota inferior más grande es  P = -1 ,  por lo que  inf(f) = -1.


Como   -1 ∈ Im(f)   tenemos que  P = -1  es el mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta  y = -1 ,  ésta toca a la gráfica de la función.


Una cota superior es K = 2

Por otro lado, la cota superior más pequeña es  K= 1 ,  por lo que   sup(f) = 1 .


Como   1 ∈ Im(f)   tenemos que K = 1  es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta  y = 1 ,  también vemos que ésta toca a la gráfica de la función.


Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.

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