Funciones acotadas. Extremos absolutos
Función acotada superiormente. Máximo absoluto
Una función f decimos que está acotada superiormente si existe un número K tal que la imagen de cualquier punto x del dominio de f es siempre menor o igual que ese valor.
A este número K le llamamos cota superior de la función f .
Una función acotada superiormente tiene infinitas cotas superiores. A la más pequeña de las cotas superiores le llamamos extremo superior o supremo y lo expresamos como sup(f) .
Si la función alcanza al supremo, este se llama máximo absoluto de la función, es decir, que existe x0 ∈ Dom(f) tal que f(x0) = K , siendo K = sup(f) , diremos que f tiene un máximo absoluto y este máximo absoluto es K .
Observando la gráfica, podemos advertir que una cota superior es K= 4 o para toda k>4 es cota superior.
También se puede advertir que la cota superior más pequeña es K= 3 por tanto sup(f) = 3 .
Como K = 3 ∈ Im(f) (K pertenece a la imagen=rango=recorrido de f) tenemos que K = 3 es el máximo absoluto de la función.
Gráficamente, si al trazar la línea horizontal del supremo, esta toca a la gráfica de la función en algún punto, entonces la función tiene un máximo absoluto, y si no toca a la gráfica en ningún punto no tiene máximo absoluto.
Función acotada inferiormente. Mínimo absoluto
Una función f decimos que está acotada inferiormente si existe un número P tal que la imagen de cualquier punto x del dominio de f es siempre mayor o igual que ese valor.
A este número P le llamamos cota inferior de la función f .
Una función acotada inferiormente tiene infinitas cotas inferiores. A la más grande de las cotas inferiores le llamamos extremo inferior o ínfimo y lo expresamos como inf(f) .
Si la función alcanza al supremo, este se llama mínimo absoluto de la función, es decir, que existe x0 ∈ Dom(f) tal que f(x0) = P , siendo P = inf(f) , diremos que f tiene un mínimo absoluto y este mínimo absoluto es P .
Observando la gráfica, podemos advertir que una cota inferior es P=-3 o para toda P<-3 es cota inferior.
También se puede advertir que la cota inferior más grande es P= -2 por tanto inf(f) = - 2.
Como P = - 2∈ Im(f) tenemos que P = - 2 es el mínimo absoluto de la función.
Gráficamente, si al trazar la línea horizontal del ínfimo, ésta toca a la gráfica de la función en algún punto, entonces la función tiene un mínimo absoluto, y si no toca a la gráfica en ningún punto no tiene mínimo absoluto.
Función acotada
Una función f está acotada si está acotada superior e inferiormente.
Ejemplo de función acotada: f(x) = 4x / (x2 - 4)
Una cota inferior es P = -2
Observando la gráfica del ejemplo, podemos ver que la cota inferior más grande es P = -1 , por lo que inf(f) = -1.
Como -1 ∈ Im(f) tenemos que P = -1 es el mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta y = -1 , ésta toca a la gráfica de la función.
Una cota superior es K = 2
Por otro lado, la cota superior más pequeña es K = 1 , por lo que sup(f) = 1 .
Como 1 ∈ Im(f) tenemos que K = 1 es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta y = 1 , también vemos que ésta toca a la gráfica de la función.
Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.
Ejemplo de función acotada: f(x) = 2 / (x2 + 1)
Una cota inferior es P = -1
La cota inferior más grande es P = 0 , por lo que inf(f) = 0 .
Como 0 ∉ Im(f) tenemos que P = 0 no es mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta y = 0 , ésta no toca a la gráfica de la función.
Una cota superior es K =3
Por otro lado, la cota superior más pequeña es K = 2 , por lo que sup(f) = 2 .
Como 2 ∈ Im(f) tenemos que K = 2 es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta y = 2 , vemos que ésta toca a la gráfica de la función.
Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.
Ejemplo de función acotada:
Una cota inferior es P = -2
La cota inferior más grande es P = -1 , por lo que inf(f) = -1.
Como -1 ∈ Im(f) tenemos que P = -1 es el mínimo absoluto de la función. De hecho, al trazar la recta y = -1 , ésta toca a la gráfica de la función.
Una cota superior es K = 2
Por otro lado, la cota superior más pequeña es K= 1 , por lo que sup(f) = 1 .
Como 1 ∈ Im(f) tenemos que K = 1 es el máximo absoluto de la función. Además, al trazar la recta y = 1 , también vemos que ésta toca a la gráfica de la función.
Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior, como superiormente.