INICIOEjercicios resueltos de ecuaciones matriciales
1) Halla la matriz A que haga que:
2) Encuentra las matrices X cuadradas de orden 2 que verifican la siguiente relación:
3) Sean las matrices:
a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A
b) Determine x para que A - I = B-1
c) Determine x para que A·B = I
4) Resolver la ecuación matricial A·X = B donde
5) Dadas las matrices
a) Determinar la matriz inversa de B
b) Determinar una matriz X tal que A = B·X
6) Hallar una matriz X que verifique la ecuación
A · X + B = C
donde
7) Considera las matrices:
Calcula la matriz X que verifica AX + B = I , donde I representa la matriz identidad.
8) Resuelve la ecuación matricial AX + C = B , siendo:
9) Considera la siguiente matriz:
a) Razona si existe la matriz inversa de A y, en caso afirmativo, calculala.
b) Resuelve la ecuación matricial AX + 2A = I , donde X es una matriz de orden 3 e I representa la matriz identidad.
10) Determinar la matriz X en la siguiente ecuación matricial:
11) Consideremos las siguientes matrices:
a) Resuelve la ecuación matricial X·A + At = X·B
b) Halla la matriz X
12) Sea X una matriz cuadrada de orden 2 , I la matriz identidad de orden 2 y sea B la siguiente matriz:
Hallar X sabiendo que B·X + B = B2 + I
13) Consideremos las siguientes matrices:
Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica X·A2 + B·A = A2
1) Halla la matriz A que haga que:
Definimos las siguientes matrices:
Calculamos la matriz inversa de C:
2) Encuentra las matrices X cuadradas de orden 2 que verifican la siguiente relación:
Definimos la matriz X de la siguiente manera:
3) Sean las matrices:
a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2 = A
b) Determine x para que A - I = B-1
c) Determine x para que A·B = I
4) Resolver la ecuación matricial A·X = B donde:
Si A es inversible, entonces para resolver la ecuación basta con multiplicar ambos miembros de la igualdad por la izquierda por A-1, de manera que obtenemos que
A-1 ·A· X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B
Empezamos intentando calcular la inversa de A:
Como A es inversible,
5) Dadas las matrices
a) Determinar la matriz inversa de B
b) Determinar una matriz X tal que A = B·X
(a)
Empezamos determinando la matriz inversa de B
(b)
Dado que B es una matriz inversible, para encontrar una matriz X tal que se satisfaga la ecuación
A = B · X
bastará con multiplicar por B-1 por la izquierda ambos miembros de la ecuación. De esta forma obtenemos que:
B-1 · A = B-1 · B · X = X
Calculemos ahora la matriz X:
6) Hallar una matriz X que verifique la ecuación
A·X + B = C
donde
Empezamos viendo que
A · X + B = C ⇔ A · X + B - B = C - B ⇔ A · X = C - B
Teniendo en cuenta esta relación si A es inversible podremos calcular X, de la siguiente forma:
A · X = C - B ⇔ A-1 · A · X = A-1 · (C - B) ⇔ X = A-1 · (C - B)
Vamos por tanto a intentar calcular la inversa de A:
Acabamos de ver que A es inversible y además hemos obtenido su inversa. Teniendo esto en cuenta y también que X = A-1 · (C - B), calculemos X :
7) Considera las matrices:
Calcula la matriz X que verifica AX + B = I , donde I representa la matriz identidad.
8) Resuelve la ecuación matricial AX + C = B , siendo:
9) Considera la siguiente matriz:
a) Razona si existe la matriz inversa de A y, en caso afirmativo, calculala.
b) Resuelve la ecuación matricial AX + 2A = I , donde X es una matriz de orden 3 e I representa la matriz identidad.
A continuación calculamos la matriz inversa de A:
10) Determinar la matriz X en la siguiente ecuación matricial:
Calculamos por lo tanto la matriz inversa de A2
Por otro lado tenemos que:
De esta forma podemos calcular X:
11) Consideremos las siguientes matrices:
a) Resuelve la ecuación matricial X·A + At = X·B
b) Halla la matriz X
Calculando la inversa de la matriz A-B se tiene que:
De esta forma podemos calcular X:
12) Sea X una matriz cuadrada de orden 2 , I la matriz identidad de orden 2 y sea B la siguiente matriz:
Hallar X sabiendo que B·X + B = B2 + I
Calculamos la matriz inversa de B:
Por otra parte calculamos B2:
De esta forma podemos calcular X:
13) Consideremos las siguientes matrices:
Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica X·A2 + B·A = A2
Entre la matriz A y B existe la siguiente relación:
De esta forma podemos calcular X:
| Ecuación | Pasos | Solución |
|---|---|---|
| X·A = B | Multiplicamos por la derecha por A-1 | X·A·A-1 = B·A-1 ⇒ X = B · A-1 |
| A·X + B = C | Restamos B en ambos miembros Multiplicamos por la izquierda por A-1 |
A·X + B - B = C - B ⇒ A·X = C - B A-1·A·X = A-1·(C - B) ⇒ X = A-1 · (C - B) |
| X·A + B = 3 C | Restamos B en ambos miembros Multiplicamos por la derecha por A-1 > |
X·A + B - B = 3 C - B ⇒ X·A = 3 C - B X·A·A-1 = ( 3 C - B)·A-1 ⇒ X = (3C - B) · A-1 |
| A·X + B·X = 5C | Sacamos X factor común. Multiplicamos por la izquierda por (A + B)-1 |
(A +B )·X = 5C (A + B)-1(A +B )·X = 5(A + B)-1C ⇒ X = 5(A + B)-1·C |
| X·C - X·A·B = 3C | Sacamos X factor común. Multiplicamos por la derecha por (C + A · B )-1 |
X·(C + A·B) = 3C X·(C + A·B )(C + A·B )-1 = 3C(C + A·B )-1 ⇒ X = 3C·(C + A · B )-1 |
Comprobar las siguientes ecuaciones matriciales:
a) No es correcta, porque hay matrices no nulas que multiplicadas por si mismas dan la matriz cero. Por ejemplo:
b) Si la matriz A tiene inversa la única solución es X = 0 . En cambio, si no existe A-1 pueden haber otras soluciones como en el caso anterior.
c) Si reescribimos la ecuación de la siguiente forma: X2 - AX = 0 ⇒ X(X - A) = 0
Se ve que pueden haber otras soluciones, puesto es un caso particular del apartado anterior.