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Ejercicios resueltos de potencias de matrices

1)   Sea la matriz:

a)   Calcular  A2   y   A3
b)   Halla una ley general para calcular  An
c)   Calcular  A10


2)   Sea la matriz:

a)   Calcular  An
b)   Calcular  A350-A250


3)   Sea la matriz:

a)   Calcula  An
b)   Halla  A22-12A2+2A


4)   Sea la matriz:

a)   Calcula  An
b)   Halla  A250+A20


5)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:


6)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:


7)   Sea la matriz:

a)   Calcula  An
b)   Halla  A35


8)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:


9)   Se considerann las siguientes:

a)   Determina   x   e   y   para que MN = NM
b)   Halla  M1995   y   M1996


10)   Halla todas las matrices X de la siguiente forma

tales que:


11)   Se consideran las matrices:

Calcular  B3  y  A3          (Sugerencia: A = B + I)


12)   Sea la matriz:

Prueba que  An=2n-1·A


13)   Sea la matriz:

Calcula  An


14)   Sea la matriz:

Prueba que se verifica que   A3 + I = 0   y utiliza esta igualdad para obtener   A10


15)   Sea la matriz:

a)   Comprueba que verifica que   A3 + I = 0
b)   Calcula   A13
c)   Basándote en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla la matriz   X   que verifica la igualdad   A2X + I = A

1)   Sea la matriz:

a)   Calcular  A2   y   A3
b)   Halla una ley general para calcular  An
c)   Calcular  A10


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

2)   Sea la matriz:

a)   Calcular  An
b)   Calcular  A350-A250


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

3)   Sea la matriz:

a)   Calcula  An
b)   Halla  A22-12A2+2A


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

4)   Sea la matriz:

a)   Calcula  An
b)   Halla  A250+A20


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

5)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Por lo tanto, hemos demostrado que:

6)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Por lo tanto, hemos demostrado que:

7)   Sea la matriz:

a)   Calcula  An
b)   Halla  A35


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Por lo tanto, hemos demostrado que:

8)   Calcula   An   para todo valor de n entero positivo y A la siguiente matriz:


9)   Se considerann las siguientes:

a)   Determina   x   e   y   para que MN = NM
b)   Halla  M1995   y   M1996



10)   Halla todas las matrices X de la siguiente forma

tales que:


11)   Se consideran las matrices:

Calcular  B3  y  A3          (Sugerencia: A=B+I)


12)   Sea la matriz:

Prueba que  An=2n-1·A


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Por lo tanto, hemos demostrado que:

13)   Sea la matriz:

Calcula  An


Aplicamos el método de inducción:

Primer paso:   Se calculan las primeras potencias de A:

Segundo paso:   A partir del resultado anterior, suponemos que:

Tercer paso:   Se comprueba el resultado para la siguiente potencia   An+1

Por lo tanto, hemos demostrado que:

14)   Sea la matriz:

Prueba que se verifica que   A3 + I = 0   y utiliza esta igualdad para obtener   A10



Sabiendo que   A3 + I = 0 , tenemos que:   A3 = - I

15)   Sea la matriz:

a)   Comprueba que verifica que   A3 + I = 0
b)   Calcula   A13
c)   Basándote en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla la matriz   X   que verifica la igualdad   A2X + I = A