INICIOEjercicios resueltos de ecuaciones matriciales con determinantes
1) Resuelva la siguiente ecuación matricial: AX - 2B = C, siendo:
2) Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X - B siendo:
3) Sean las matrices:
Calcule la matriz P que verifica BP - A = Ct
4) Sea k un número natural y sean las matrices:
a) Calcular Ak
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación AkX = BC
5) Sea la matriz:
a) Calcule los valores de m para que tenga inversa
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A·X·A = I2
donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.
6)
a) Despeja la matriz X en la ecuación AX - X = BX + C
b) Halla la matriz X sabiendo que:
7) Sean las matrices
a) Calcule la matriz (A - I)·B , siendo I la matriz identidad de orden 2.
b) Obtenga la matriz Bt (matriz traspuesta de B) y calcule, si es posible Bt·A
c) Calcule la matriz X que verifica AX + B = C
8) Dada la matriz A:
a) Halla su inversa.
b) Resuelve la ecuación:
1) Resuelva la siguiente ecuación matricial: AX - 2B = C, siendo:
Empezamos observando que, si A es inversible:
Veamos si A es inversible y en caso de serlo calculemos su inversa:
Por otra parte
de manera que
2) Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X - B siendo:
Empezamos trabajando con las matrices para despejar X:
Por tanto, si A - I es una matriz inversible podremos determinar la matriz X que verifica la ecuación:
Como A - I es inversible y conocemos su inversa podemos determinar X:
3) Sean las matrices
Calcule la matriz P que verifica BP - A = Ct
Empezamos despejando P:
La ecuación tendrá solución si y sólo si B es inversible. Veamos si B tiene inversa y en caso de tenerla calculémosla:
Como B es inversible podemos calcular P:
4) Sea k un número natural y sean las matrices
a) Calcular Ak
b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación AkX = BC
a)
Empezamos calculando Ak :
b)
Empezamos despejando X en la ecuación:
La ecuación tendrá solución si Ak es inversible. Veamos si lo es y calculemos su inversa:
Como Ak es inversible, la ecuación tiene solución. Calculémosla:
5) Sea la matriz
a) Calcule los valores de m para que tenga inversa
b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A·X·A = I2 donde I2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.
a)
Empezamos por ver para qué valores de m es A inversible:
b)
Para m = 0, tenemos que
Por otra parte, para la ecuación A·X·A = I2 se tiene que:
de manera que la ecuación tendrá solución si y sólo si A es inversible. Como ya hemos visto que A es inversible y conocemos su inversa, podemos calcular X:
6)
a) Despeja la matriz X en la ecuación AX - X = BX + C
b) Halla la matriz X sabiendo que:
a)
Despejamos X tal como se nos pide:
Observamos que la ecuación tendrá solución si y sólo si la matriz A - I - B es inversible.
b)
Empezamos viendo que A - I - B es inversible y, de serlo, calculando su inversa:
Como A - I - B es inversible y conocemos su inversa podemos calcular la solución de la ecuación:
7) Sean las matrices:
a) Calcule la matriz (A - I)·B , siendo I la matriz identidad de orden 2.
b) Obtenga la matriz Bt (matriz traspuesta de B) y calcule, si es posible Bt·A
c) Calcule la matriz X que verifica AX + B = C
a)
b)
c)
8) Dada la matriz A:
a) Halla su inversa.
b) Resuelve la ecuación:
a)
Seguimos los siguientes pasos:
Calculamos la matriz adjunta de A:
Trasponemos la matriz anterior:
Calculamos la matriz inversa:
b)
Resolvemos la ecuación:
Resumen de ecuaciones matriciales básicas
| Ecuación | Pasos | Solución |
|---|---|---|
| X·A = B | Multiplicamos por la derecha por A-1 | X·A·A-1 = B·A-1 ⇒ X = B · A-1 |
| A·X + B = C | Restamos B en ambos miembros Multiplicamos por la izquierda por A-1 |
A·X + B - B = C - B ⇒ A·X = C - B A-1·A·X = A-1·(C - B) ⇒ X = A-1 · (C - B) |
| X·A + B = 3 C | Restamos B en ambos miembros Multiplicamos por la derecha por A-1 > |
X·A + B - B = 3 C - B ⇒ X·A = 3 C - B X·A·A-1 = ( 3 C - B)·A-1 ⇒ X = (3C - B) · A-1 |
| A·X + B·X = 5C | Sacamos X factor común. Multiplicamos por la izquierda por (A + B)-1 |
(A +B )·X = 5C (A + B)-1(A +B )·X = 5(A + B)-1C ⇒ X = 5(A + B)-1·C |
| X·C - X·A·B = 3C | Sacamos X factor común. Multiplicamos por la derecha por (C + A · B )-1 |
X·(C + A·B) = 3C X·(C + A·B )(C + A·B )-1 = 3C(C + A·B )-1 ⇒ X = 3C·(C + A · B )-1 |
Comprobar las siguientes ecuaciones matriciales:
a) No es correcta, porque hay matrices no nulas que multiplicadas por si mismas dan la matriz cero. Por ejemplo:
b) Si la matriz A tiene inversa la única solución es X = 0 . En cambio, si no existe A-1 pueden haber otras soluciones como en el caso anterior.
c) Si reescribimos la ecuación de la siguiente forma: X2 - AX = 0 ⇒ X(X - A) = 0
Se ve que pueden haber otras soluciones, puesto es un caso particular del apartado anterior.