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Ejercicios resueltos de propiedades de determinantes

Propiedad Ejemplo

El determinante de una matriz y de su traspuesta es el mismo.
| A | = | At|

Como consecuencia , toda propiedad que sea válida para filas lo será también para columnas y viceversa. Entonces llamaremos en general líneas a las filas o a las columnas.

El determinante del producto de dos matrices cuadradas A y B es igual al producto de los determinantes de A y de B

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden.

| A · B | = | A | · | B |
Si multiplicamos a una línea por un número k, el determinante queda multiplicado por dicho número:

     k · |A|
Si A es una matriz de orden n y k es un número real:


|k · A | = kn|A|
Si se intercambian dos líneas de un determinate entonces cambia su signo.
Si en un determinante los elementos de una linea son sumas de dos sumandos, se puede descomponer en suma de dos determinantes.
Si una matriz tiene una línea nula su determinante vale cero.
Si una matriz tiene dos líneas proporcionales o iguales entonces su determinante vale cero.
Si una línea puede expresarse como combinación lineal de otras líneas su determinante vale cero.

Si a una línea se suma una combinación lineal de otras líneas paralelas su determinante no varía

Es decir que se le suma otra línea multiplicada por un número real, su determinante no varía

Determinantes de algunas matrices especiales  
Si A es una matriz diagonal, su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Si A es una matriz triangular inferior su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Si A es una matriz triangular superior su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal.
No cumple  
El determinante de la suma de dos matrices cuadradas A y B no siempre es igual a la suma de los determinantes de A y de B

|A+B| ≠ |A| + |B|

1)   Dada la siguiente matriz, demuestra que   |A| = |At|


2)   Dada la siguiente matriz, demuestra que   |A| = |At|

Demuestra que:
a)   |A| = - |B|
b)   |C| = |A|


3)   Considera las siguientes matrices:

Demuestra que   |B| = 2·|A|


4)   Dada la siguiente matriz:

Descomponer la matriz C en dos matrices A y B de forma que:   |C| = |A| + |B|


5)   Calcula sin desarrollar, los determinantes de las siguientes matrices:


6)   Dadas las siguientes matrices:

Demuestra que   |A| = |B| = |C|


7)   De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2,
señala las que son correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:


8)   Sabiendo que:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:


9)   Sabiendo que:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:


10)   Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es 0:


11)   Comprueba, sin desarrollarlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 42:


12)   Sea  A  una matriz cuadrada de orden  2  verificando que  2A2 = A .
Calcular razonadamente los posibles valores del determinante de A .


13)   Sea A una matriz cuadrada de orden 3. Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8.
¿Cuánto vale el determinante de A?
Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.


14)   Sean A, B y C tres matrices cuadradas tales que   |A| = 3 ,   |B| = 5   y   |C| = 2 .  
Decide razonadamente el valor de los siguientes determinantes:


15)   Sean las matrices:

¿ Se cumple que   |A + B| = |A| + |B| ?


16)   Sean las matrices:

¿ Se cumple que   |A·B| = |A|·|B| ?


17)   Sean las matrices:

Comprueba si se verifican las siguientes igualdades:


18)   Si   M   es una matriz y   |M| = 5.
¿Cuánto vale el determinante de M3?
¿Y del determinante de 3M?

1)   Dada la siguiente matriz, demuestra que   |A| = |At|


2)   Dadas las siguientes matrices:

Demuestra que:
a)   |A| = - |B|
b)   |C| = |A|


3)   Considera las siguientes matrices:

Demuestra que   |B| = 2·|A|


Es decir, el factor 2 es común a todos los elementos de la primera columna de B, por tanto se puede sacar como factor común del determinante.

4)   Dada la siguiente matriz:

Descomponer la matriz C en dos matrices A y B de forma que:   |C| = |A| + |B|


5)   Calcula sin desarrollar, los determinantes de las siguientes matrices:


6)   Dadas las siguientes matrices:

Demuestra que   |A| = |B| = |C|


7)   De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2, señala las que son correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:


8)   Sabiendo que:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:


9)   Sabiendo que:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:


10)   Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es 0:



11)   Comprueba, sin desarrollarlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 42:


12)   Sea  A  una matriz cuadrada de orden  2  verificando que  2A2 = A . Calcular razonadamente los posibles valores del determinante de A .


Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de la matriz, su determinante queda multiplicado por ese número elevado al orden de la matriz, en este caso, orden 2.

13)   Sea A una matriz cuadrada de orden 3. Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8. ¿Cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.


Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de la matriz, su determinante queda multiplicado por ese número elevado al orden de la matriz, en este caso, orden 3.

14)   Sean A, B y C tres matrices cuadradas tales que   |A| = 3 ,   |B| = 5   y   |C| = 2 .  Decide razonadamente el valor de los siguientes determinantes:


15)   Sean las matrices:

¿ Se cumple que   |A + B| = |A| + |B| ?


16)   Sean las matrices:

¿ Se cumple que   |A·B| = |A|·|B| ?


17)   Sean las matrices:

Comprueba si se verifican las siguientes igualdades:



18)   Si   M   es una matriz y   |M| = 5. ¿Cuánto vale el determinante de M3?
¿Y del determinante de 3M?