INICIOEjercicios resueltos de sistemas de ecuaciones trigonométricas
1) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
2) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
3) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
4) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
5) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
6) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
7) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
8) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
9) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
10) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
11) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
12) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
13) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
1) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• En primer lugar, calculamos el valor de una de las incógnitas para sustituirlo en la otra ecuación:
x + y = 90o ⇒ x = 90o - y ⇒ sen x = sen (900 - y) = cos y (ángulos complementarios)
• Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:
• Elevamos ambos miembros de la ecuación al cuadrado:
• Por lo tanto las soluciones son las siguientes::
2) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• En primer lugar, calculamos el valor de una de las incógnitas para sustituirlo en la otra ecuación:
x - y = π/2 ⇒ y = π/2 + y
• Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos:
• Por lo tanto las soluciones son las siguientes::
3) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Las ecuaciones se pueden expresar de la siguiente manera:
• Por lo tanto el sistema inicial se puede expresar como cuatro sistemas de ecuaciones algebraicas:
• Las soluciones de dichos sistemas son las siguientes:
4) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Sumando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:
• Restando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:
• Ambas condiciones nos dan el siguiente sistema de ecuaciones:
5) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Sumando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:
• Restando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:
• Ambas condiciones nos dan el siguiente sistema de ecuaciones:
• Obtenemos así cuatro sistemas de ecuaciones:
• Las soluciones de cada uno de los sistemas son:
6) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Sumando ambas ecuaciones obtenemos la siguiente igualdad y aplicamosla fórmula fundamental de la trigonometría:
• Sustituimos x = 1 en la primera ecuación:
• Las soluciones en el intervalo [0, 2π] son:
7) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Sumando ambas ecuaciones obtenemos la siguiente igualdad y aplicamosla fórmula fundamental de la trigonometría:
• Sustituimos x = 90o en la primera ecuación:
• Sustituimos x = 270o en la primera ecuación:
• Las soluciones en el intervalo [0, 2π] son:
| y = 30o | y = 60o | y = 120o | y = 240o | |
|---|---|---|---|---|
| x = 90o | (90o, 30o) |
(90o, 60o) |
(90o, 120o) |
(90o, 240o) |
| x = 270o | (270o, 30o) |
(270o, 60o) |
(270o, 120o) |
(270o, 240o) |
8) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Sumando ambas ecuaciones obtenemos la siguiente igualdad y aplicamosla fórmula fundamental de la trigonometría:
• A continuación sustituimos el valor de y = 45o en la primera ecuación:
• Las soluciones en el intervalo [0, 2π] son:
| y = 45o | y = 135o | y = 225o | y = 315o | |
|---|---|---|---|---|
| x = 30o | (30o, 45o) |
(30o, 45o) |
(30o, 45o) |
(30o, 45o) |
| x = 45o | (45o, 45o) |
(45o, 45o) |
(45o, 45o) |
(45o, 45o) |
| x = 210o | (210o, 45o) |
(210o, 45o) |
(210o, 45o) |
(210o, 45o) |
| x = 330o | (330o, 45o) |
(330o, 45o) |
(330o, 45o) |
(330o, 45o) |
9) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Los ángulos que verifican cada una de las soluciones son:
• Por lo tanto, las soluciones son:
10) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Realizamos el siguiente cambio de variable:
• Sumando ambas ecuaciones obtenemos:
• Deshaciendo los cambios de variable tenemos que:
• Por tanto las soluciones son:
11) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Despejamos cos y de la primera ecuación:
• Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación y desarrollamos:
• Resolvemos la ecuación de segundo grado:
• Por tanto las soluciones son:
12) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Dividimos las dos ecuaciones del sistema:
• Aplicamos la fórmula del ángulo doble:
La función tangente tiene periodo 180o o π radianes , por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo (-π/2, π/2) y luego sumamos multiplos de π .
• Despejamos el valor de y de la segunda ecuación:
• Por tanto las soluciones son:
13) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:
• Despejamos de ambas ecuaciones sen x y cos x :
• Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado:
• A continuación, sumando ambas ecuaciones obtenemos:
• Aplicamos la siguiente igualdad:
• Desarrollamos la expresión para transformar la suma en producto:
• Despejamos el valor de x para cada solución de y :
• Los pares de soluciones son los siguientes:
• Al elevar al cuadrado las ecuaciones, algunas de las soluciones pueden ser no validas, por lo que comprobamos cada una de ellas:
