Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

(a)

Para resolver la ecuación    cos x = 1/2    hay que buscar los ángulos cuyo coseno valga   1/2

Lo expresamos como   x = arc cos 1/2   que expresa que   x   es el ángulo cuyo coseno es   1/2

Como el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante, tendrá dos soluciones en el primer giro.

Soluciones del primer giro son   60^o   y   300^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar vueltas completas a las dos soluciones halladas, es decir:    60^o + k·360^o   y   300^o + k·360^o

(b)

Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos tal que:

Que expresa que   x   es el ángulo cuyo coseno es   (√2)/2

Como el coseno es positivo en el primer y segundo cuadrante, tendrá dos soluciones en el primer giro

Soluciones del primer giro son  45^o   y   135^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar vueltas completas a las dos soluciones halladas, es decir:   45^o + k·360^o   y   135^o + k·360^o

(c)

Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos tal que:

Que expresa que   x   es el ángulo cuya tangente es   (√3)/3

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:   150^o   y  330^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar    π    a las dos soluciones halladas, es decir:   150^o + k·180^o   y   330^o + k·180^o

(d)

Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos tal que:

Que expresa que   x   es el ángulo cuyo coseno es   - 1

Como el coseno solo toma el valor - 1 en el eje negativo de coordenadas, solo tendrá una solución en el primer giro.

Solución del primer giro es  270^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar vueltas completas a las dos soluciones halladas, es decir:   270^o + k·360^o

(e)

Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos tal que:

Como el seno toma valores positivos en el primer y segundo cuadrante, tendrá dos soluciones en el primer giro.

Soluciones del primer giro son  60^o   ,   120^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar vueltas completas a las dos soluciones halladas, es decir:   x = 60^o + k·360^o     ,     x = 120^o + k·360^o

(f)

Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos tal que:

Como la tangente toma valores positivos en el primer y tercer cuadrante, tendrá dos soluciones en el primer giro.

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:   π/4 = 45^o   ,   5π/4 = 225^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar    π    a las dos soluciones halladas, es decir:   x = π/4 + k·π     ,     x = 5π/4 + k·π

(a)

Para resolver la ecuación    tg x/2 = 1    hay que buscar los ángulos cuya tangente valga   1 .

Lo expresamos como   x/2 = arc tg 1   que expresa que   x/2   es el ángulo cuya tangente es   1 .

Como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, buscamos las dos soluciones.

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

La solucióon en el intervalo   [0, 2π]   es:     x = 90^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar    2π    a las dos soluciones halladas, es decir:    90^o + 2k·π

(b)

Para resolver la ecuación    sen 2x = 0    hay que buscar los ángulos cuya tangente valga   0

Lo expresamos como   2x = arc sen 0   que expresa que   2x   es el ángulo cuyo seno es   0 

(c)

Para resolver la ecuación    sen 2x = cos 60^o    sustituimos el valor de    cos 60^o

(d)

El coseno toma valores negativos en el segundo y tercer cuadrante:

(e)

La tangente toma valores positivos en el primer y tercer cuadrante:

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:

(f)

Resolvemos la ecuación para encontrar los ángulos que cumplen la igualdad:

El coseno toma valores negativos en el segundo y tercer cuadrante:

(a)

Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos cuyo seno valga   1/2 

Como el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, buscamos las dos soluciones

Los del primer giro son   30^o   y   150^o   pero encontraremos más en las siguientes vueltas

Las soluciones del primer giro para   k = 0   son  7,5^o   y   67,5^o

Las soluciones del primer giro para   k = 1   son  187,5^o   y   247,5^o

(b)

Sabemos que el coseno toma el valor 1 en el ángulo 0 radianes:

(c)

Sabemos que el seno toma valores positivos en el primer y segundo cuadrante:

(d)

Sabemos que el seno toma valores positivos en el primer y segundo cuadrante:

(e)

Antes de buscar la solución a la ecuación, despejamos la cotangente:

La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante: 

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:   π/12 = 15^o   ,   13π/12 = 225^o

Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar    π    a las dos soluciones halladas, es decir:   x = π/12 + k·π

(f)

La tangente es negativa en el segundo y tercer cuadrante: 

(a)

Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones

El coseno se anula en el primer giro en  90^o   y   270^o

El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante

Los del primer giro son   30^o   y   150^o   pero encontraremos más en las siguientes vueltas

Las soluciones del primer giro son    30^o   ,   90^o   ,   150^o   ,   270^o

(b)

Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones

El seno se anula en  0^o   y   180^o   pero encontraremos más en las siguientes vueltas

El coseno se anula en el primer giro en  90^o   y   270^o

Las soluciones del primer giro son    0^o   ,   90^o   ,   180^o   ,   270^o

(c)

Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones

Recordamos que el coseno se anula en el primer giro en  90^o   y   270^o

(d)

Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones

(e)

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

(f)

(a)

Para resolver la ecuación se desarrolla   cos 2x   y resulta una ecuación de segundo grado incompleta:

(b)

Para resolver la ecuación se desarrolla   tg 2x   y resulta una ecuación de segundo grado incompleta:

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:   π/6 = 30^o   ,   5π/6 = 150^o   ,   7π/6 = 210^o   ,   11π/6 = 330^o

(c)

Para resolver la ecuación elevamos ambos miembros al cuadrado. Hay que tener en cuenta que en nuestro caso, al resolver la ecuación elevando ambos términos al cuadrado, también vamos a obtener las soluciones de senx + cos x = -1

(d)

Para resolver la ecuación se aplica la fórmula fundamental de la trigonometría y resulta una ecuación de segundo grado incompleta:

(e)

Para resolver la ecuación se desarrolla   cos 2x   y resulta una ecuación de segundo grado incompleta:

(f)

Para resolver la ecuación se desarrolla la fórmula de la diferencia de ángulos de la tangente y resulta una ecuación de segundo grado incompleta:

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

(a)

(b)

(c)

Recopilamos las soluciones y las expresamos en forma de radianes:

(d)

Recopilamos las soluciones y las expresamos en forma de radianes:

(e)

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Recopilamos las soluciones y las expresamos en forma de radianes:

(f)

Recopilamos las soluciones y las expresamos en forma de radianes:

(a)

Para resolver la ecuación aplicamos la fórmula de la adición de ángulos:

(b)

(c)

Agrupamos las soluciones:

(d)

Agrupamos las soluciones:

(e)

Agrupamos las soluciones:

También podemos resolver la ecuación de otra manera. Para ello desarrollamos   cos 3x

Por otra parte desarrollamos cos 2x

Realizamos el siguiente cambio de variable:   t = cos x

Por lo tanto, la ecuación anterior quedaría de la siguiente forma:

(f)

La función coseno tiene periodo   360^o   o   2π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   y luego sumamos multiplos de   2π .

Agrupamos las soluciones:

(a)

Aplicamos la fórmula de la suma de ángulos:

La función tangente tiene periodo   180^o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:

(b)

La función seno tiene periodo   360^o   o   2π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   y luego sumamos multiplos de   2π .

(c)

La función cotangente tiene periodo   π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (0, π)   y luego sumamos multiplos de   π .

(d)

La función tangente tiene periodo   π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .

(e)

En primer lugar convertimos el coseno en seno utilizando para ello los ángulos complementarios. De esta forma podemos utilizar despues la fórmula de la suma de senos:

La función coseno toma valores negativos en el segundo y tercer cuadrante, por tanto los valores son:
2π/3 = 120^o     y     4π/3 = 240^o

La función coseno tiene periodo   2π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (0, 2π)   y luego sumamos multiplos de   2π .

(f)

La función coseno toma valores positivos en el segundo y tercer cuadrante, por tanto los valores son:
π/3 = 120^o     y     5π/3 = 240^o

La función coseno tiene periodo   2π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (0, 2π)   y luego sumamos multiplos de   2π .