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Problemas resueltos de variable aleatoria discreta

1)    Considera el experimento  " número obtenido "  al lanzar un dado. Escribe la función de probabilidad y la función de distribución correspondiente a este experimento.

2)    Sea el experimento  "lanzar dos monedas al aire"  y sea  X  la variable aleatoria discreta que asigna a cada elemento del espacio muestral el número de cruces. Escribir su función de probabilidad y su función de distribución.

3)    Se lanzan dos dados cúbicos con las caras numeradas del  1  al  6.  Se considera la variable  X,  que asigna a cada elemento del espacio muestral la suma de las caras obtenidas. Indica su función de distribución y su función de probabilidad.
a)    Indica su función de distribución y su función de probabilidad.
b)    Hallar la media y desviación típica.

4)    En una bolsa hay bolas numeradas : nueve bolas con un  1,  cinco bolas con un  2  y seis bolas con un  3.  Se extrae una bola al azar. Representar las funciones de probabilidad y distribución.

5)    La distribución de probabilidad de una variable aleatorio discreta viene dada por :

xi 1 2 3 4
pi 0,3 0,35 k 0,2

a)    Halla  k  para que se trate de una función de probabilidad.
b)    Representa gráficamente la función de probabilidad.
c)    Halla   P ( x ≤ 4 )   y   P ( 2 ≤ x ≤ 4 ).

6)    La función de probabilidad de una variable discreta es :

xi 0 1 2 3 4
pi 0,1 a b c 0,2

Sabiendo que   P ( x ≤ 2 ) = 0,7   y que   P ( x ≥ 2 ) = 0,75   hallar su esperanza matemática y su desviación típica.

7)    Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la tabla:

x -3 -1 3 4
f(x) 0,2 0,4 0,3 0,1

8)    Lanzamos 3 monedas al aire. Definimos la variable aleatoria 'número de cruces obtenidas' .
a)    Encuentra el espacio muestral.
b)    ¿Qué valores toma esta variable aleatoria? 
c)    Construye la distribución de probabilidad.
d)    Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de esta variable aleatoria.

1)    Considera el experimento  " número obtenido "  al lanzar un dado. Escribe la función de probabilidad y la función de distribución correspondiente a este experimento.


Reflejamos en una tabla el espacio muestral, así como los valores de X asociados a cada elemento del espacio muestral. Además, asociamos la función de probabilidad a cada uno de ellos.


Espacio muestral xi f ( xi ) = pi
1 1 1 / 6
2 1 1 / 6
3 1 1 / 6
4 1 1 / 6
5 1 1 / 6
6 1 1 / 6


A partir de la función de probabilidad obtenemos la función de distribución de nuestra variable. La función de distribución viene determinada por la expresión F ( x ) = P (  X ≤ x  )


1)    Sea el experimento  "lanzar dos monedas al aire"  y sea  X  la variable aleatoria discreta que asigna a cada elemento del espacio muestral el número de cruces. Escribir su función de probabilidad y su función de distribución.


Espacio muestral

El espacio muestral del lanzamiento de dos monedas de un euro es:
E = { CC , CX , XC, XX}


Si se asocia a cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral un número real, por ejemplo, el número de cruces, se obtiene una función del espacio muestral E en el conjunto de los número reales.
Esta función es una variable aleatoria tiene de recorrido el conjunto finito {0 , 1, 2}

P (X = 0) = P( {(x, x)} ) = 1/4
P(X = 1) = P( {(c, x)}, {x, c} ) = 1/2
P(X = 2) = P( {(c, c)} ) = 1/4

0 1 2
1/4 1/2 1/4

      Esta correspondencia de probabilidades se llama distribución de       probabilidad.



Obtenemos las funciones de probabilidad:





0 1 2
1/4 1/2 1/4

                          función de probabilidad



Nuestra función de distribución sería:



función de distribución

2)    Se lanzan dos dados cúbicos con las caras numeradas del  1  al  6.  Se considera la variable  X,  que asigna a cada elemento del espacio muestral la suma de las caras obtenidas.
a)    Indica su función de distribución y su función de probabilidad.
b)    Hallar la media y desviación típica.


a)

Recogemos en una tabla los posibles valores de la variable  X  junto con los elementos del espacio muestral asociados a dichos valores. Obtenemos así su función de probabilidad.


Espacio muestral xi f ( xi ) = pi
 ( 1, 1 )
2 1 / 36
 ( 1, 2 )  ( 2, 1 )
3 2 / 36
 ( 1, 3 )  ( 2, 2 )  ( 2, 1 )
4 3 / 36
 ( 1, 4 )  ( 2, 3 )  ( 3, 2 )  ( 4, 1 )
5 4 / 36
 ( 1, 5 )  ( 2, 4 )  ( 3, 3 )  ( 4, 2 )  ( 5, 1 )
6 5 / 36
 ( 1, 6 )  ( 2, 5 )  ( 3, 4 )  ( 4, 3 )  ( 5, 2 )  ( 6, 1 )
7 6 / 36
 ( 2, 6 )  ( 3, 5 )  ( 4, 4 )  ( 5, 3 )  ( 6, 2 ) 
8 5 / 36
 ( 3, 6 )  ( 4, 5 )  ( 5, 4 )  ( 6, 3 )
9 4 / 36
 ( 4, 6 )  ( 5, 5 )  ( 6, 4 )
10 3 / 36
 ( 5, 6 )  ( 6, 5 )
11 2 / 36
 ( 6, 6 )
12 1 / 36


A partir de la función de probabilidad obtenemos la función de distribución de nuestra variable. La función de distribución viene determinada por la expresión F ( x ) = P (  X ≤ x  )




b)


xi pi pi · xi pi · xi2
2 1 / 36 2 / 36 4 / 36
3 2 / 36 6 / 36 18 / 36
4 3 / 36 12 / 36 48 / 36
5 4 / 36 20 / 36 100 / 36
6 5 / 36 30 / 36 180 / 36
7 6 / 36 42 / 36 294 / 36
8 5 / 36 40 / 36 320 / 36
9 4 / 36 36 / 36 324 / 36
10 3 / 36 30 / 36 300 / 36
11 2 / 36 22 / 36 242 / 36
12 1 / 36 12 / 36 144 / 36
Sumatorios 252 / 36 1974 / 36


4)    En una bolsa hay bolas numeradas : nueve bolas con un  1,  cinco bolas con un  2  y seis bolas con un  3.  Se extrae una bola al azar. Representar las funciones de probabilidad y distribución.


Función de probabilidad.
La recogemos en una tabla donde aparezcan los elementos del espacio muestral, asocidos cada uno a los casos favorables y la probabilidad asociada a cada uno de ellos.

xi F ( xi ) = pi
1 9 / 20
2 5 / 20
3 6 / 20

Función de distribución.

5)    La distribución de probabilidad de una variable aleatorio discreta viene dada por :

xi 1 2 3 4
pi 0,3 0,35 k 0,2

a)    Halla  k  para que se trate de una función de probabilidad.
b)    Representa gráficamente la función de probabilidad.
c)    Halla   P ( x ≤ 4 )   y   P ( 2 ≤ x ≤ 4 ).


a)

k = 1 - 0,3 - 0.35 - 0.2 = 0,15

b)

función de probabilidad


c)

P ( x ≤ 4 ) = 1

P ( 2 ≤ x ≤ 4 ) = 0,25 + 0,2 = 0,45

6)    La función de probabilidad de una variable discreta es :

xi 0 1 2 3 4
pi 0,1 a b c 0,2

Sabiendo que   P ( x ≤ 2 ) = 0,7   y que   P ( x ≥ 2 ) = 0,75   hallar su esperanza matemática y su desviación típica.


Hallamos en primer lugar la función de distribución   F ( x ) = P ( X ≤ x ) :

xi pi xi · pi xi2 xi2 · pi
0 0,1 0 0 0
1 0,15 0,15 1 0,15
2 0,45 0,9 4 1,8
3 0,1 0,3 9 0,9
4 0,2 0,8 16 3,2
Sumatorios 2,15 6,05


 

7)    Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la tabla:

x -3 -1 3 4
f(x) 0,2 0,4 0,3 0,1


8)    Lanzamos 3 monedas al aire. Definimos la variable aleatoria 'número de cruces obtenidas' .
a)    Encuentra el espacio muestral.
b)    ¿Qué valores toma esta variable aleatoria? 
c)    Construye la distribución de probabilidad.
d)    Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de esta variable aleatoria.


a) El espacio muestral asociado a 'lanzar 3 monedas al aire' es:

E = {XXX, XXC, CXC, CXX, XCC, CXC, CCX, CCC}

b) La variable aleatoria X = nº de cruces obtenidas en cada lanzamiento, toma los valores 0, 1, 2 y 3. Por tanto podemos afirmar que se trata de una variable aleatoria discreta.

c) La distribución de la probabilidad es:

X = nº de cruces en cada lanzamiento 0 1 2 3
Pi = P(X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8