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Las funciones trigonométricas inversas

Para que una función tenga inversa, esta función tiene que ser inyectiva.


Las funciones trigonométricas no son inyectivas en todo su dominio, sólo en algunos intervalos, como se puede observar en la gráfica correspondiente.


f(x) = tg x   es inyectiva en   [-π/2, π/2] .


tangente_iny



La función arcotangente

La función inversa de la función tangente     f(x) = tg x     se denomina arcotangente y se representa por     f-1(x) = arc tg x    o   f-1(x) = tg-1(x) .  Esta función da el valor del ángulo conociendo el valor de la tangente.

arcotangente

El arcotangente de   x   es un ángulo cuya tangente es   x .




tabla_valores




arcotangente


1) Su dominio es   R .


2) Su recorrido es   (/2, π/2) .


3) Puntos de corte:  La gráfica pasa por el punto   (0, 0).


4) Es creciente en todo su dominio.


5) Es una función impar.


6) Está acotada inferiormente por   y = -π/2   y superiormente por   y = π/2 .


7) La función tiene asintotas horizontales en   y = -π/2   e   y = π/2 .


limite_arcotg            limite_arcotg



No confundir:


arcotangente


La composición entre el seno y el arcocoseno es la identidad:


arcotangente


arcotangente


Ambas funciones son simétricas respecto a la recta   y = x .

Hallar   arc tg (√3/3)

Se busca un ángulo   α   en el intervalo   (-π/2, π/2)   para el cual:


     arcotangente


Por lo tanto, tenemos que:


     arcotangente

arcotangente


La función arcotangente es la función inversa de la función tangente, luego en general (dentro de su dominio) se tiene que:


     arc tg ( tg(x) ) = x


Por tanto:

     arcotangente

izquierda
         arriba
derecha