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Estudio completo de funciones trigonométricas

Estudia y representa las siguientes funciones trigonométricas:


1)   y = sen (5x)

2)   y = 2 cos(x)

3)   y = cotg(2x)

4)   y = tg(x/4)

5)   y = 3 + 2cos(x/2)

6)   y = 3 sec(x)

7)   y = - 3 + arc cos(x)

8)   y = sen2(x)




Funciones trigonométricas: periodo, amplitud, asíntotas verticales, dominio e imagen.

  Periodo Amplitud

Asintotas verticales

Dominio Imagen
y = sen x 1 No tiene R { y∈R  |  -1 ≤ y ≤ 1 }
y = cos x 1 No tiene R { y∈R  |  -1 ≤ y ≤ 1 }
y = tg x π   π/2 (2k + 1)   ,  k∈Z { x∈R |  x ≠ π/2 (2k + 1)  } R
y = cotg x π   k·π     ,  k∈Z { x∈R |  x ≠k·π  } R
y = sec x   π/2 (2k + 1)   ,  k∈Z { x∈R |  x ≠ π/2 (2k + 1)  } { y∈R  | y ≤ -1   ó    y ≥ 1 }
y = cosec x   k π     ,  k∈Z { x∈R |  x ≠k·π  } { y∈R  | y ≤ -1   ó    y ≥ 1 }

Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica.


y = sen (5x)


1) Dominio:     Dom(f) = R


2) Recorrido:     Im(f) = [-1 , 1]


3) Periodicidad:


Como la función seno es periódica de período 2π, la función f(x) = sen (5x) es periódica de período:


            2π = 5x     ⇔     x = 2π/5


Es periódica de período 2π/5 .


También podemos hallar el período de la función así:


            f(x) = sen(5x) = sen(5x + 2π) = sen[ 5 (x + 2π/5) ] = f(x + 2π/5)


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:



Periodo = 2π/5


4) Puntos de corte:


Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.


Puntos de corte con el eje Y:


Si   x = 0     ⇒     y = sen 0     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)


Puntos de corte con el eje X:


Si   y = 0     ⇒     0 = sen (5x)     ⇒     5x = 0    ó    5x = π     ⇒     x = 0    ó    x = π/5     ⇒     (0 , 0)    ,    (π/5 , 0)


5) Máximos y mínimos:


Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.


Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:


            1 = sen (5x)     ⇒     5x = π/2     ⇒     x = π/10     ⇒     (π/10 , 1)


Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:


            -1 = sen (5x)     ⇒     5x = 3π/2     ⇒     x = 3π/10     ⇒     (3π/10 , -1)


función seno

Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica.


y = 2 cos(x)


1) Dominio:     Dom(f) = R


2) Recorrido:     Im(f) = [-2 , 2]


3) Periodicidad:


Como la función coseno es periódica de período  2π , la función   f(x) = 2 cos(x)   tiene el mismo período:   2π .


También podemos sacar el período de la función así:


           f(x) = 2 cos(x) = 2 cos(x + 2π) = f(x + 2π)


4) Puntos de corte:


Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.


Puntos de corte con el eje Y:


Si   x = 0     ⇒     y = 2 cos 0     ⇒     y = 2     ⇒     (0 , 2)


Puntos de corte con el eje X:


Si   y = 0     ⇒     0 = 2 cos(x)     ⇒     cos(x) = 0     ⇒     x = π/2    ó    x = 3π/2


Luego los puntos de corte con el eje X son:         (π/2 , 0)    ,    (3π/2 , 0)


5) Máximos y mínimos:


Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.


Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:


            2 = 2 cos(x)     ⇒     1 = cos(x)     ⇒     x = 0    ó    x = 2π     ⇒     (0 , 2)    ,    (2π , 2)


Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:


            -2 = 2 cos(x)     ⇒     -1 = cos(x)     ⇒     x = π     ⇒     (π , -2)


coseno

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = cotg(2x)


1) Dominio:


La función cotangente no está definida en:     kπ   ,  k ∈ Z


Por tanto, nuestra función tampoco estará definida en:


            2x = kπ   k ∈ Z    ⇔     x = kπ/2   ,  k ∈ Z


Luego:     Dom(f) = R - { kπ/2  |  k ∈ Z }


2) Recorrido:     Im(f) = R


3) Periodicidad:


Como la función cotangente es periódica de período   π ,  la función f(x) = cotg (2x) es periódica de período:


            2x = π     ⇔     x = π/2


Es periódica de período  π/2 .


También podemos sacar el período de la función así:


           f(x) = cotg(2x) = cotg(2x + π) = cotg( 2(x + π/2) ) = f(x + π/2)


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:



Periodo = π/2


4) Puntos de corte:


La función cotangente no corta al eje Y, por tanto, la función  f(x) = cotg(2x)  tampoco.


Sabemos que la función cotangente corta al eje X en:     0 = cotg(x)     ⇔     x = π/2   ó   x = 3π/2


En nuestro caso:


            0 = cotg(2x)     ⇔     2x = π/2     ó     2x = 3π/2     ⇔     x = π/4   ó   x = 3π/4


Como el período de nuestra función es   π/2,  los puntos de corte con el eje X en el primer período son:    


            (π/4 , 0)  ,  (3π/4 , 0)


5) Máximos y mínimos:


La función cotangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto,  f(x) = cotg(2x)  tampoco los tiene.


cotangente

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = tg(x/4)


1) Dominio:


La función tangente no está definida en:     (2k + 1)π/2   ,  k ∈ Z


Por tanto, nuestra función tampoco estará definida en:


            x/4 = (2k + 1)π/2   k ∈ Z    ⇔     x = 2(2k + 1)π   ,  k ∈ Z


Luego:     Dom(f) = R - { 2(2k + 1)π  |  k ∈ Z }


2) Recorrido:     Im(f) = R


3) Periodicidad:


Como la función tangente es periódica de período   π ,  la función f(x) = tg (x/4) es periódica de período:


            x/4 = π     ⇔     x = 4π


Es periódica de período  4π .


También podemos sacar el período de la función así:


           período tangente


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:




4) Puntos de corte:


Puntos de corte con el eje Y:


            x = 0     ⇒     y = tg(x/4)     ⇒     y = tg(0)     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)


Sabemos que la función tangente corta al eje X en:     0 = tg(x)     ⇔     x = 0    ó    x = π


En nuestro caso:     0 = tg(x/4)     ⇔     x = 0    ó    x/4 = π     ⇔     x = 0    ó    x =


Como el período de nuestra función es   4π ,  los puntos de corte con el eje X en el primer período son:    (0 , 0)  ,  (4π , 0)


5) Máximos y mínimos:


La función tangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto,  f(x) = tg(x/4)  tampoco los tiene.


tangente

Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica.


y = 3 + 2cos(x/2)


1) Dominio:     Dom(f) = R


2) Recorrido:


Sabemos que el recorrido de la función coseno es [-1 , 1], por tanto el de cos(x/2) es también  [-1 , 1] .


Es decir:     - 1 ≤ cos(x/2) ≤ 1


Para obtener nuestra función en el miembro intermedio:  multiplicamos por 2 y sumamos 3 unidades en cada miembro de la desigualdad.


            - 1 ≤ cos(x/2) ≤ 1      ⇒      - 2 ≤ 2cos(x/2) ≤ 2


            - 2 + 3 ≤ 3+ 2 cos(x/2) ≤ 2 + 3      ⇒      1 ≤ 3+ 2 cos(x/2) ≤ 5


Luego:      Im(f) = [1 , 5]


3) Periodicidad:


Sabemos que la función cos(x) es periódica de período  2π .


En nuestro caso:      x/2 = 2π      ⇔      x = 4π


Es periódica de período  4π .


También podemos sacar el período de la función así:


            período coseno


También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:




4) Puntos de corte:


Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.


Puntos de corte con el eje Y:


Si   x = 0     ⇒     y = 3 + 2 cos 0     ⇒     y = 3 + 2 = 5     ⇒     (0 , 5)


Puntos de corte con el eje X:


Si   y = 0     ⇒     0 = 3 + 2 cos(x/2)     ⇒     cos(x/2) = -3/2


Pero sabemos que el recorrido de  cos(x/2)  es  [-1 , 1] ,  es decir:      -1 ≤ cos(x/2) ≤ 1


Sin embargo,   -3/2 ∉ [-1 , 1]


Por tanto, no hay puntos de corte con el eje X.


5) Máximos y mínimos:


Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.


Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:


            5 = 3 + 2 cos(x/2)     ⇒     1 = cos(x/2)     ⇒     x/2 = 0    ó    x/2 = 2π


            ⇒    x = 0    ó    x = 4π     ⇒ (0 , 5)    ,    (4π , 5)


Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:


            1 = 3 + 2 cos(x/2)     ⇒     -1 = cos(x/2)     ⇒     x/2 = π     ⇒    x = 2π     ⇒ ( , 1)


coseno

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = 3 sec(x)


1) Dominio:


            secante


La función  cos(x)  es cero en:


            ceros de coseno


Por tanto, el dominio de nuestra función vendrá dado por:


            dominio secante


2) Recorrido:


Sabemos que el recorrido de la función coseno es [-1 , 1] . Es decir:     - 1 ≤ cos(x) ≤ 1


Seperamos las dos desigualdades y, operando, tratamos de "conseguir" nuestra función:


recorrido secante


Luego:      - 3 ≥ f(x)  ,  que representa el intervalo   (-∞ , - 3]


recorrido secante


Luego:      f(x) ≥ 3  ,  que representa el intervalo   [3 , ∞)


Por tanto, el recorrido o imagen de nuestra función es:      Im(f) = (-∞ , - 3] ∪ [3 , ∞)


3) Periodicidad:


Como la función secante es periódica de período π , la función   f(x) = 3 sec(x)   tiene el mismo período:   π .


También podemos sacar el período de la función así:


           f(x) = 3 sec(x) = 3 sec(x + π) = f(x + π)


4) Puntos de corte:


Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.


Puntos de corte con el eje Y:


Si   x = 0     ⇒     y = 3 sec 0     ⇒     y = 3·1 = 3     ⇒     (0 , 3)


No tiene puntos de corte con el eje X, puesto que:      y = 0 ∉ Im(f) = (-∞ , - 3] ∪ [3 , ∞)


5) Máximos y mínimos:


La función   sec(x)  no tiene ni máximos ni mínimos absolutos, por tanto, la función  f(x) = 3 sec(x)   tampoco.


secante

Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.


y = - 3 + arc cos(x)


1) Dominio:


Sabemos que el dominio de la función  arc cos(x)   es  [-1 , 1].


Por tanto, el de   f(x) = - 3 + arc cos(x)   es el mismo:     Dom(f) = [-1 , 1] .


2) Recorrido:

Sabemos que el recorrido de la función  arc cos(x)   es  [0 , π] .


Es decir:     0 ≤ arc cos(x) ≤ π


Para obtener nuestra función en el miembro intermedio:  restamos 3 unidades en cada miembro de la desigualdad.


            0 ≤ arc cos(x) ≤ π      ⇒      - 3 ≤ - 3 + arc cos(x) ≤ π - 3     ⇒     - 3 ≤ f(x) ≤ π - 3


Por tanto:      Im(f) = [ - 3 , π - 3]


3) Periodicidad:


Sabemos que la función  arc cos(x)   no tiene periodicidad, por tanto, la función   f(x) = - 3 + arc cos(x)   tampoco.


4) Puntos de corte:


Puntos de corte con el eje Y:


Si   x = 0     ⇒     y = -3 + arc cos 0     ⇒     y = - 3 + π/2     ⇒     (0 , - 3 + π/2)


Puntos de corte con el eje X:


Si   y = 0     ⇒     0 = -3 + arc cos (x)     ⇒     arc cos(x) = 3     ⇒     x = cos 3     ⇒     ( cos 3 , 0)


5) Máximos y mínimos:


Sabemos que la función  g(x) = arc cos(x)   es decreciente.


Nuestra función es una traslación vertical hacia abajo de la función  g , es decir:


            f(x) = - 3 + arc cos(x) = - 3 + g(x)


Por tanto, nuestra función   f   también es decreciente.


Como   Im(f) = [-3 , π - 3] ,  y   f   es decreciente, tenemos que:


•   f   tiene un mínimo absoluto en  y = - 3 :


            y = - 3 + arc cos(x)     ⇒     - 3 = - 3 + arc cos(x)     ⇒


            ⇒     0 = arc cos(x)     ⇒     cos 0 = x     ⇒     x = 1     ⇒     (1 , -3)


•   f   tiene un máximo absoluto en  y = π - 3 :


            y = - 3 + arc cos(x)     ⇒     π - 3 = - 3 + arc cos(x)     ⇒


            ⇒     π = arc cos(x)     ⇒     cos π = x     ⇒     x = -1     ⇒     (-1 , π - 3)


arcocoseno

Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica.


y = sen2(x)


1) Dominio:


El dominio de la función seno es todo R , por tanto, el dominio de nuestra función es el mismo:


                 Dom(f) = R


2) Recorrido:


Calcularemos su imagen o recorrido a través de su función invesa:


            y = sen2(x)     ⇒     ±√y = sen(x)     ⇒     arcsen(±√y) = x


Intercambiamos las variables y estudiamos el dominio de la nueva función:     y = arcsen(±√x)


•   El dominio de la función arc sen(x) es:     [-1 , 1]


•   La raíz cuadrada está bien definida sólo en los números positivos:     [0 , ∞)


Por tanto, su dominio es:     [-1 , 1] ∩ [0 ,∞) = [0 , 1]


O lo que es lo mismo, la imagen de nuestra función es:     Im(f) = [0 , 1]


3) Periodicidad:


Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período.


Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble:      cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)


Y también:      1 = cos2(x) + sen2(x)


cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)     ⇔     cos(2x) = (1 - sen2(x) ) - sen2(x)     ⇔     cos(2x) = 1 - 2sen2(x)     ⇔


⇔     2sen2(x) = 1 - cos(2x)     ⇔     sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2


Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π :


período seno cuadrado


El período de f(x) es  T = π .

4) Puntos de corte:


Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.


Puntos de corte con el eje Y:


Si   x = 0     ⇒     y = sen2(0)     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)


Puntos de corte con el eje X:


Si   y = 0     ⇒     0 = sen2(x)     ⇒     0 = ± sen(x)     ⇒     x = 0    ó    x = π


Luego los puntos de corte con el eje X son:         (0 , 0)    ,    (π , 0)


5) Máximos y mínimos:


Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.


Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:


            1 = sen2(x)     ⇒     1 = ± sen(x)     ⇒     x = π/2     ⇒     (π/2 , 1)


Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:


            0 = sen2(x)     ⇒     0 = ± sen(x)     ⇒     x = 0    ó    x = π     ⇒     (0 , 0)  ,  (π , 0)


seno cuadrado