INICIODiscusión de sistemas de ecuaciones con parámetros
Ejemplo de discusión de sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y
un parámetro
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius
1. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a :
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 2. Observamos que el rango de A puede ser a lo sumo 2, ya que A es una
matriz es una matriz 3 × 2, mientras que el rango de A' puede ser a lo sumo 3, ya que A' es una matriz
de orden 3.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Observamos que
por lo cual rg(A) = 2 y rg(A') ≥ 2. ya que dicho menor es menor de las dos matrices.
Ahora vemos que:
de manera que:
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto,
Ejemplo de discusión de sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y
un parámetro
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius
1. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a :
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el de A' pueden ser a lo sumo 3 ya que A es una matriz es de orden 3 y A' una matriz 3 × 4.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Observamos que
por lo cual rg(A) ≥ 2 y rg(A') ≥ 2 ya que dicho menor es menor de las dos matrices.
Ahora vemos que:
Consecuentemente
Veamos que ocurre con rg(A'):
Si a ≠ -1 y a ≠2 entonces rg(A') = 3 ya que |A| es un menor no nulo de orden 3 de A'.
Si a = -1 ó a = 2
tenemos que ver qué ocurre con el ocurre con el otro orlado del determinante de menor de orden 2 que tomamos antes:
Si a = -1 el menor es no nulo, de manera que rg(A') = 3.
Si a = 2 el menor es nulo, de manera que rg(A') = 2.
En resumen:
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Ejemplo de discusión de sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas y
un parámetro
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius
1.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro k :
La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes
Para este sistema n = 3. Observamos que el rango de A puede ser a lo sumo 3 ya que A es una
matriz es una matriz 4 × 3, mientras que el rango de A' puede ser a lo sumo 4, ya que A' es una matriz
de orden 3.
Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )
Observamos que
por lo cual rg(A) = 3 y rg(A') ≥ 3. ya que dicho menor es menor de las dos matrices.
Ahora vemos que:
de manera que:
El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo
Por tanto,
Observamos que cuando k = 1, la tercera ecuación es redundante ya que las otras tres ecuaciones aportan un menor de orden tres a la matriz de coefientes A. Por tanto la solución del sistema vendrá dada por dichas ecuaciones. Así:
