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Teorema de Rouché-Frobënius:
Discusión de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché-Frobënius

Considerando el sistema general de m ecuaciones y n incógnitas

 

Podemos considerar las matrices A y A'

donde A es la matriz de coeficientes del sistema y A' es la matriz ampliada del sistema.


Teorema de Rouché-Fröbenius

  • rg (A) = rg(A') = n    ⇒    El sistema es compatible determinado (solución única).
  • rg (A) = rg(A') < n    ⇒    El sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones).
  • rg (A) ≠ rg(A')         ⇒    El sistema es incompatible (no tiene solución).


Ejemplo de discusión de sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius

1.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 2. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 2 ya que A es una matriz cuadrada de orden 2 y A' es una matriz 2 ×3.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Vemos que |A| = 5 ≠ 0 de manera que rg(A) = 2 y como |A| es un menor de orden 2 de la matriz A', también rg(A ') = 2.

El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 y el sistema es compatible determinado.



Ejemplo de discusión de sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius

1.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 2. Observamos que tanto el rango de A puede ser a lo sumo 2 ya que A es una
matriz es una matriz 3 × 2, mientras que el rango de A' puede ser a lo sumo 3, ya que A' es una matriz
de orden 3.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Empezamos estudiando el rango de A'.

Vemos que

de manera que rg(A') = 3.

El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

Por tanto, como rg(A) ≤ 2 y rg(A') = 3,     rg(A) ≠ rg(A')    y el sistema es incompatible.



Ejemplos de discusión de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius

1.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Vemos que |A| = 4 ≠ 0 de manera que rg(A) = 3 y como |A| es un menor de orden 3 de la matriz A',
también rg(A ') = 3.

El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 y el sistema es compatible determinado.





2.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Empezamos estudiando el rango de A.

Vemos que

de manera que rg(A) < 3. Observamos que

es decir, A tiene un menor de orden 2 no nulo, de manera que rg(A) = 2.

Dicho menor es también un menor de orden 2 de A', por lo cual rg(A') ≥ 2. El menor puede orlarse de
dos formas:

Añadiendo la última fila y la tercera columna, lo cual da lugar a |A|, que hemos visto que se anula.

Añadiendo la última fila y la última columna de A':

Como los menores orlados son ambos nulos rg(A') = 2.

El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 < 3 y el sistema es compatible indeterminado.





3.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz cuadrada de orden 3 y A' es una matriz 3 × 4.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Empezamos estudiando el rango de A.

Vemos que

de manera que rg(A) < 3. Observamos que

es decir, A tiene un menor de orden 2 no nulo, de manera que rg(A) = 2.

Dicho menor es también un menor de orden 2 de A', por lo cual rg(A') ≥ 2. El menor puede orlarse de
dos formas:

Añadiendo la primera fila y la tercera columna, lo cual da lugar a |A|, que hemos visto que se anula.

Añadiendo la primera fila y la última columna de A':

Como este menor es no nulo, tenemos que rg(A') = 3.

El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

Por tanto, como rg(A)=2 y rg(A')=3,     rg(A) ≠ rg(A')    y el sistema es incompatible.



Ejemplo de discusión de sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius

1.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 3. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 2 ya que A es una matriz 2 × 3 y A' es una matriz 2 × 4.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Estudiamos los rangos de A y de A'.

Vemos que

de manera que rg(A) = 2. Dicho menor es también un menor de A'. Por tanto rg(A') = 2

El rango de la matriz es el orden del mayor menor no nulo

Por tanto rg(A) = rg(A') = 2 < 3 y el sistema es compatible indeterminado.



Ejemplo de discusión de sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas
utilizando el teorema de Rouché-Frobënius

1.- Discutir el siguiente sistema de ecuaciones

La matriz y la matriz ampliada asociadas a este sistema son las siguientes

Para este sistema n = 4. Observamos que tanto el rango de A como el rango de A' pueden ser a lo
sumo 3 ya que A es una matriz 3 × 4 y A' es una matriz 3 × 5.

Una matriz A de dimensión m × n siempre verifica que rg(A) ≤ min ( m , n )

Empezamos estudiando el rango de A.

Vemos que

de manera que rg(A) = 3. Como dicho menor también es un menor de A' entonces rg(A') = 3.

Por tanto rg(A) = rg(A') = 3 < 4 y el sistema es compatible indeterminado.

Número de ecuaciones y número de incógnitas

Nº de ecuaciones    <    Nº de incógnitas

Nº de ecuaciones    =   Nº de incógnitas + 1

Nº de ecuaciones    =   Nº de incógnitas

izquierda
         arriba
derecha