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Ejercicios resueltos de ecuaciones racionales

                                    No confundir:


Error_algebraico


Ejercicios de ecuaciones racionales de primer grado:





ecuación racional


1. Se suprimen los denominadores. Se halla el m.c.m. de los denominadores de ambos miembros:

m.c.m. (x + 5,    x + 5,    1) = x + 5


Dividimos el mínimo común multiplo (m.c.m.) por

cada denominador y multiplicamos por su numerador, en ambos miembros.

30 + 5 + 4x = 5(x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25


2. Se hace la transposición de términos.

4x - 5x = 25 - 30 - 5


3. Se reducen los términos semejantes.

- x = - 10


4. Se despeja la incógnita.

x = 10



ecuación racional


1. Se suprimen los denominadores. Se halla el m.c.m. de los denominadores de ambos miembros:

m.c.m.( x + 1,     x - 1,    1 ) = (x + 1)(x - 1) = x2 - 1


Dividimos el mínimo común multiplo (m.c.m.) por

cada denominador y multiplicamos por su numerador, en ambos miembros.

2(x - 1) = x(x + 1) - (x2 - 1)


2x - 2 = x2 + x - x2 + 1


2x - 2 = + x + 1


2. Se hace la transposición de términos.

2x - x = 1 + 2


3. Se reducen los términos semejantes.

x = 3

Ejercicios de ecuaciones racionales de primer grado:


1)    x + 8 x - 1  -  x + 4 x + 1  =  12x x 2  - 1


1. Se suprimen los denominadores. Se halla el m.c.m. de los denominadores de ambos miembros:


x 2  - 1 = ( x - 1 )( x + 1 ) m.c.m. (x - 1, x + 1 , x 2  - 1) = (x - 1)(x + 1) = x 2  - 1


Dividimos el mínimo común multiplo (m.c.m.) por

cada denominador y multiplicamos por su numerador, en ambos miembros.


( x + 8 )( x + 1 ) - ( x + 4 )( x - 1 ) = 12x x 2  + x + 8x + 8 - x 2  + x - 4x + 4 = 12x 6x + 12 = 12x - 6x = - 12 x = 2



2)    1 ( x - 1 ) 2  -  3 2x - 2  = -  3 2x + 2


( x - 1 ) 2  = ( x - 1 )( x - 1 ) 2x - 2 = 2( x - 1 ) 2x + 2 = 2( x + 1 ) m.c.m[ ( x - 1 ) 2 , 2x - 2, 2x + 2 ] = 2 ( x - 1 ) 2 ( x + 1 )


Dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos por el numerador.


2( x + 1 ) - 3( x - 1 )( x + 1 ) = - 3 ( x - 1 ) 2 2x + 2 - 3x 2  + 3 = - 3x 2  + 6x - 3 2x + 5 = 6x - 3 - 4x = - 8 x = 2



3)   3 ( x - 1 x + 1 )  + 2 ( x + 1 x - 4 )  =  5x ( x - 1 ) x 2  - 3x - 4


3x - 3 x + 1  +  2x + 2 x - 4  =  5x 2  - 5x x 2  - 3x - 4


Para descomponer   x2 - 3x - 4, resolvemos la ecuación de segundo grado.


x =  3 ±   9 + 16 2  =  3 ± 5 2  = { x 1  = 4   x 2  = - 1 x 2  - 3x - 4 = ( x - 4 )( x + 1 ) m.c.m. (x + 1, x - 4 , x 2  - 3x - 4) = ( x - 4 )( x + 1 )


Dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos por el numerador.


( 3x - 3 )( x - 4 ) + ( 2x + 2 )( x + 1 )  = 5x 2  - 5x 3x 2  - 12x - 3x + 12 + 2x 2  + 2x + 2x + 2 = 5x 2  - 5x - 11x + 14 = - 5x - 6x = - 14 x =  14 6  =  7 3

Ejercicios de ecuaciones racionales de primer grado:


1)    4x + 5 15x 2  + 7x - 2  -  2x + 3 12x 2  - 7x - 10  -  2x - 5 20x 2  - 29x + 5  = 0



Para hallar el mínimo común multiplo factorizamos cada uno de los denominadores.



Resolvemos la ecuación de segundo grado   15x2 + 7x - 2.


x =  - 7 ±   49 + 120 30  =  - 7 ±   169 30  =  - 7 ± 13 30  =  { x 1  =  6 30  =  1 5     x 2  =  - 20 30  =  - 2 3 15x 2  + 7x - 2 = 15( x -  1 5 )( x +  2 3 ) = 5( x -  1 5 ) 3( x +  2 3 ) = ( 5x - 1 )( 3x + 2 )



Resolvemos la ecuación de segundo grado   12x2 - 7x - 10.


x =  7 ±   49 + 480 24  =  7 ±   529 24  =  7 ± 23 24  = { x 1  =  30 24  =  5 4    x 2  =  - 16 24  =  - 2 3 12x 2  - 7x - 10 = 12( x -  5 4 )( x +  2 3 ) = 4( x -  5 4 ) 3( x +  2 3 ) = ( 4x - 5 )( 3x + 2 )



Resolvemos la ecuación de segundo grado   20x2 - 29x + 5.


x =  29 ±   841 - 400 40  =  29 ±   441 40  =  29 ± 21 40  = {    x 1  =  50 40  =  5 4    x 2  =  8 40  =  1 5 20x 2  - 29x + 5 = 20( x -  5 4 )( x -  1 5 ) = 4( x -  5 4 ) 5( x -  1 5 ) = ( 4x - 5 )( 5x + 1 )



m.c.m( 15x 2  + 7x - 2 , 12x 2  - 7x - 10 , 20x 2  - 29x + 5 ) = ( 5x - 1 )( 3x + 2 )( 4x - 5 )



( 4x + 5 )( 4x - 5 ) - ( 2x + 3 )( 5x - 1 ) - ( 2x - 5 )( 3x + 2 ) = 0 16x 2  - 25 - 10x 2  + 2x - 15x + 3 - 6x 2  + 11x + 10 = 0 - 2x - 12 = 0 - 2x = 12 x = - 6

Ejercicio de una ecuación racional de primer grado:


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


(3x - 1)(x + 1) = 3x(x - 1)


3x2 + 3x - x - 1 = 3x2 - 3x


5x = 1


x = 1/5

Ejercicio de una ecuación racional de primer grado:


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


2(2x - 1)(3x - 1) = 6(2x2 - x - 2)


12x2 - 4x - 12x + 2 = 12x2 - 6x - 12


-4x - 12x + 6x = - 12 - 2


- 10x = - 14


x = 14/10 = 7/5

Ejercicio de una ecuación racional de primer grado:


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


ecuación racional


11(x - 3) = 3x - 1


11x - 33 = 3x - 1


11x - 3x = - 1 + 33


8x = 32


x = 4

Ejercicios de ecuaciones racionales de segundo grado:



m.c.m. (3, x) = 3x

Para hacerlo de forma rápida dividimos el m.c.m. entre el denominador

y multiplicamos por el numerador en cada término.

3x2 + 3 = 10x

3x2 - 10x + 3 = 0




Aplicamos:    m.c.m.(x, x - 120, 144) = 144x(x - 120)


144(x - 120) + 144x = x(x - 120)     ⇔     144x - 17280 + 144x = x2 - 120x     ⇔     x2 - 408x + 17280 = 0


probl3_sol




m.c.m. (x - 1, x + 2, x + 1) = (x - 1) (x + 2) (x + 1)

Para hacerlo de forma rápida dividimos el m.c.m. entre el denominador

y multiplicamos por el numerador en cada término.

6(x + 2)(x + 1) - 10(x - 1)(x + 1) = 4(x - 1)(x + 2)

6x2 + 18x + 12 - 10x2 + 10 = 4x2 + 4x - 8

- 8x2 + 14x + 30 = 0

4x2 - 7x - 15 = 0

ecuacion_2grado




Ejercicios de ecuaciones racionales con literales:


A)   Ecuaciones de primer grado:


1)    1 y - n  +  1 y + n  =  1 y 2  - n 2


y 2  - n 2  = ( y + n )( y - n ) m.c.m( y - n, y + n , y 2  - n 2 ) = ( y + n )( y - n )= y 2  - n 2


Dividimos el m.c.m. entre los denominadores y multiplicamos por su numerador en cada miembro.


y + n + y - n = 1 2y = 1 y =  1 2



2)    ( a + x ) ( b + x )  - a ( b + c )  - x 2  =  a 2 c b


ab + ax + bx + x 2  - ab - ac - x 2  =  a 2 c b ax + bx - ac =  a 2 c b ( a + b )x - ac =  a 2 c b ( a + b ) bx - acb = a 2 c ( a + b ) bx = a 2 c + acb ( a + b )bx = ac( a + b ) bx = ac x =  ac b



A)   Ecuaciones de segundo grado:


3)    y 2  -  m 2  + n 2 mn y + 1 = 0



ecuacion_2grado




4)    x b ( a + b )  +  a ( a + b ) x  =  1 b



m.c.m. (b, a + b, x) = b (a+b) x


Para hacerlo de forma rápida dividimos el m.c.m. entre el denominador


y multiplicamos por el numerador en cada término.



x2 + ab = (a + b)x


x2 - (a + b)x + ab = 0


Esta ecuación es la misma del apartado 2)


Es decir, x1 = a   y   x2 = b