Potencias de números naturales.
Una potencia es una forma de escribir una multiplicación de factores iguales :
a es el factor que se repite y se denomina base.
n es el número de veces que se repite la base y se denomina exponente.
3 · 3 = 3 2 → "3 elevado a 2" o "3 elevado al cuadrado"
5 · 5 · 5 = 5 3 → "5 elevado a 3" o "5 elevado al cubo"
4 · 4 · 4 · 4 = 4 4 → "4 elevado a 4" o "4 elevado a la cuarta"
Potencias de base 10.
Las potencias de base 10 y exponente un número natural, son igual a uno seguido de tantos ceros como indique el exponente.
10 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000
10 3 = 10 · 10 · 10 = 1 000
10 5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000
Potencias de exponente 1 y 0.
- Una potencia de exponente 1 es igual a la base : a 1 = a
- Una potencia de exponente 0 es igual a 1 : a 0 = 1
Operaciones con potencias.
Producto de potencias con la misma base.
Para multiplicar dos potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
a m · a n = a m + n
Cociente de potencias con la misma base.
Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
a m : a n = a m - n
Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
( a m ) n = a m · n
Potencia de una multiplicación y una división.
- La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencia de cada uno de sus factores :
( a · b ) n = a n · b n - La potencia de una división es igual al cociente de las potencias de cada uno de sus factores :
( a : b ) n = a n : b n
Ejemplo 1 :
Halla el resultado de las siguientes operaciones con potencias :
a) 3 2 · 3 4 b) 5 2 · 5 2 c) 10 3 · 10 4 · 10
d) 7 5 : 7 3 e) 6 8 : 6 5 f) 12 4 : 12 3
g) ( 2 2 ) 3 h) ( 7 · 2 ) 3 i) ( 10 : 5 ) 2
a)
3 2 · 3 4 = 3 2 + 4 = 3 6 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 729
b)
5 2 · 5 2 = 5 2 + 2 = 5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
c)
10 3 · 10 4 · 10 = 10 3 + 4 + 1 = 10 8 = 100 000 000
d)
7 5 : 7 3 = 7 5 - 3 = 7 2 = 7 · 7 = 49
e)
6 8 : 6 5 = 6 8 - 5 = 6 3 = 6 · 6 · 6 = 216
f)
12 4 : 12 3 = 12 4 - 3 = 12 1 = 12
g)
( 2 2 ) 3 = 2 2 · 3 = 2 6 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
h)
( 7 · 2 ) 3 = 7 3 · 2 3 = 7 · 7 · 7 · 2 · 2 · 2 = 343 · 8 = 2744
i)
( 10 : 5 ) 2 = 10 2 : 5 2 = 100 : 25 = 4