INICIOTeoremas sobre funciones derivables
Teorema de Rolle
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y además f(a) = f(b) , entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0 .
Como la función es continua en el intervalo cerrado [a, b] , por el teorema de Weierstrass se sabe que la función alcanza un máximo y mínimo absoluto en el intervalo. Pueden darse las siguientes posibilidades:
• El máximo y el mínimo absoluto se alcanzan en los extremos del intervalo.
En este caso, como la función vale igual en los extremos, se cumple que es una función constante, por lo que f ' (x) = 0 en todo el intervalo (a, b) verificándose el Teorema de Rolle.
Lo podemos enunciar de la siguiente manera:
Sea f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b) y tal que f ' (c) = 0 para todo punto c∈(a, b) , entonces f(x) es constante en [a, b] .
• El valor máximo (M) se alcanza en el interior del intervalo.
Entonces existe un punto c∈(a, b) tal que f(c) = M y por tanto es un máximo relativo. Como la función es derivable entonces f ' (c) = 0 por lo que se cumple la condición.
• El valor máximo se alcance en los extremos.
En este caso, hay un punto c∈(a, b) tal que f(c) = m siendo un mínimo absoluto, y además relativo, por lo que también se cumple que f ' (c) = 0.
La condición de que f sea continua en [a, b] y derivable en (a, b) es porque hay funciones con tangente vertical en los extremos del intervalo [a, b] .
Estas funciones, al no ser derivables a la derecha de a ni a la izquierda de b, quedarían fuera del teorema de Rolle.
Por ejemplo, la siguiente función:
no es derivable en el intervalo [-2, 2] puesto que no es derivable en los extremos pero si verifica la hipótesis del teorema de Rolle, puesto que es derivable en (-2, 2) que es la condición para que entren este tipo de funciones .
Ejemplo del teorema de Rolle:
Encontrar un punto en el intervalo [0, 1] donde la tangente de la curva y = 1 + x - x2 sea paralela al eje de abscisas.
Por tratarse de una función polinómica es continua y derivable en toda la recta real y en particular en el intervalo cerrado [0, 1] .
Además f(0) = 1 y f(1) = 1 luego se puede aplicar el teorema de Rolle, es decir, existe un punto c∈(0, 1) tal que f ' (c) = 0.
Esta es la condición para que la tangente en dicho punto sea paralela al eje OX.
f ' (x) = 1 - 2x ⇒ f ' (c) = 1 - 2c = 0 ⇒ 1 - 2c = 0 ⇒ c = 1/2
